Квантовый поиск: новый взгляд на оптимизацию

от

Автор: Денис Аветисян

Исследователи предложили новый алгоритм квантового поиска, основанный на оптимизации на многообразии единичных матриц, что позволяет достичь квадратичного ускорения Гровера.

🚀 Квантовые новости

Подключайся к потоку квантовых мемов, теорий и откровений из параллельной вселенной.
Только сингулярные инсайты — никакой скуки.

Присоединиться к каналу
Квантовая схема формируется итеративным методом восхождения по Риманову градиенту с использованием обновления, совместимого с алгоритмом Гровера $Eq.\tilde{24}$, начиная с единичной матрицы $U_0 = I$ и равномерного состояния, при этом на каждом шаге добавляется новая логическая операция $V(t_k; x_k, y_k)$.
Квантовая схема формируется итеративным методом восхождения по Риманову градиенту с использованием обновления, совместимого с алгоритмом Гровера $Eq.\tilde{24}$, начиная с единичной матрицы $U_0 = I$ и равномерного состояния, при этом на каждом шаге добавляется новая логическая операция $V(t_k; x_k, y_k)$.

Представлен алгоритм оптимизации на римановом многообразии, совместимый с алгоритмом Гровера, демонстрирующий оптимальную зависимость ошибки от параметров.

Несмотря на фундаментальную значимость алгоритма Гровера для ускорения поиска в неструктурированных данных, его реализация с точки зрения оптимизации на многообразиях остается недостаточно изученной. В работе «A Grover-compatible manifold optimization algorithm for quantum search» предложен новый подход, формулирующий задачу поиска как максимизацию на единичном многообразии и решающий ее методом восхождения по Риманову градиенту с использованием «совместимых с Гровером» отступлений. Показано, что разработанный алгоритм не только достигает квадратичного ускорения, характерного для алгоритма Гровера, но и обладает оптимальной зависимостью от погрешности, а также демонстрирует линейную сходимость. Может ли оптимизационный взгляд на квантовые алгоритмы открыть новые пути для их разработки и улучшения?

Неупорядоченный поиск: вызов для вычислений

Многие вычислительные задачи, начиная от поиска информации в базах данных и заканчивая оптимизацией сложных систем, по сути сводятся к проблеме неупорядоченного поиска. В таких задачах отсутствует какая-либо структура или индекс, позволяющий быстро отсеять неподходящие варианты. Это означает, что каждый элемент потенциального решения должен быть проверен последовательно, один за другим. Классические алгоритмы в этом случае требуют времени, пропорционального количеству элементов $N$, что становится крайне неэффективным при больших объемах данных. Подобная последовательная проверка является узким местом во многих областях, требующих быстрого доступа к информации или оптимизации сложных процессов, и определяет необходимость разработки новых, более эффективных подходов к решению этой фундаментальной вычислительной проблемы.

Традиционные алгоритмы поиска сталкиваются с фундаментальными ограничениями при работе с неструктурированными данными. В большинстве случаев, для нахождения нужной информации, требуется последовательный перебор каждого элемента в наборе данных, что приводит к линейной зависимости времени выполнения от количества элементов — $O(N)$. Это означает, что при увеличении объема данных, время, необходимое для поиска, увеличивается пропорционально, что делает решение задачи неэффективным для больших наборов информации. Данная сложность представляет собой серьезную проблему во многих областях, от баз данных и машинного обучения до анализа больших данных, где скорость и эффективность поиска являются критически важными.

Алгоритм Гровера, известный своим квадратичным ускорением при поиске в неструктурированных данных, требует глубокого понимания лежащей в его основе математической структуры для эффективной реализации. Представленная работа демонстрирует алгоритм, способный достичь $\epsilon$-точной аппроксимации решения за $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ итераций, что напрямую соответствует квадратичному ускорению, характерному для алгоритма Гровера. Данный подход позволяет эффективно справляться с задачей поиска в больших объемах данных, сохраняя при этом вычислительную эффективность и точность результата, что открывает новые возможности для применения в различных областях, включая машинное обучение и оптимизацию.

Эксперименты показывают, что использование 6- и 8-факторных ретракций, несмотря на большее число вычислений на итерацию, позволяет добиться меньшего общего числа вычислений по сравнению с 5-факторной ретракцией, подтверждая линейную зависимость вычислительных затрат от размера задачи.
Эксперименты показывают, что использование 6- и 8-факторных ретракций, несмотря на большее число вычислений на итерацию, позволяет добиться меньшего общего числа вычислений по сравнению с 5-факторной ретракцией, подтверждая линейную зависимость вычислительных затрат от размера задачи.

Риманова оптимизация как инструмент квантового поиска

Риманова оптимизация представляет собой мощный математический аппарат для решения задач оптимизации на многообразиях, то есть на пространствах, локально изоморфных евклидову пространству. В отличие от традиционных методов, которые оперируют в плоских пространствах, риманова оптимизация использует геометрию самого многообразия для определения направлений поиска и шагов оптимизации. Это достигается за счет использования римановой метрики, определяющей длины кривых и углы между векторами касательного пространства. Такой подход позволяет эффективно решать задачи, где ограничения определяют нелинейные многообразия, например, задачи с ограничениями равенства или неравенства. Использование геометрических свойств многообразия обеспечивает более быструю сходимость и позволяет избежать локальных оптимумов, что особенно важно при решении сложных оптимизационных задач в различных областях, включая машинное обучение и физику.

Применение римановой оптимизации к многообразию унитарных операторов — пространству всех возможных квантовых состояний — позволяет переформулировать задачу поиска как задачу оптимизации. Каждое квантовое состояние может быть представлено как точка на этом многообразии, а целевая функция, определяющая «успешность» поиска, задает функцию стоимости. Минимизация этой функции стоимости на многообразии унитарных операторов соответствует нахождению квантового состояния, которое с наибольшей вероятностью даст желаемый результат поиска. Таким образом, вместо прямого перебора состояний, поиск сводится к эффективному нахождению минимума функции стоимости на данном геометрическом пространстве, что открывает возможности для использования методов римановой оптимизации, разработанных для работы на многообразиях.

Для реализации оптимизации на многообразии единичных операторов, необходимо использовать методы «Гровер-совместимой ретракции». Эти методы обеспечивают перемещение между точками на многообразии таким образом, чтобы полученные квантовые состояния оставались физически реализуемыми в рамках алгоритма Гровера. В отличие от произвольных перемещений, ретракция должна сохранять структуру унитарного многообразия, гарантируя, что каждая итерация оптимизации соответствует допустимой квантовой операции. Математически, ретракция представляет собой отображение $R: TM \rightarrow T M$, где $TM$ — касательное пространство к многообразию. Важно, чтобы ретракция была «близкой» к исходной точке, минимизируя отклонения и обеспечивая сходимость алгоритма.

Квантовая схема формируется методом подъема по риманову градиенту с использованием экспоненциального обновления, начиная с единичной матрицы и равномерного состояния, при этом на каждой итерации добавляется новая операция, определяемая текущим римановым градиентом и размером шага.
Квантовая схема формируется методом подъема по риманову градиенту с использованием экспоненциального обновления, начиная с единичной матрицы и равномерного состояния, при этом на каждой итерации добавляется новая операция, определяемая текущим римановым градиентом и размером шага.

Реализация восхождения по градиенту на единичном многообразии

В качестве алгоритма оптимизации используется метод восхождения по градиенту на римановом многообразии. Данный итеративный процесс предполагает последовательное улучшение решения путем движения в направлении наискорейшего возрастания целевой функции, определенного на касательном пространстве в текущей точке. Каждая итерация заключается в вычислении градиента, определении шага вдоль этого градиента и обновлении текущего решения. Такой подход позволяет эффективно находить локальные максимумы функции на заданном многообразии, учитывая его геометрию и ограничения.

Риманов градиент, используемый в алгоритме, вычисляется локально в каждой точке многообразия, опираясь на понятие тангенциального пространства. Тангенциальное пространство в данной точке представляет собой векторное пространство, касательное к многообразию, и позволяет определить направление наискорейшего роста целевой функции в окрестности этой точки. Именно в этом тангенциальном пространстве вычисляется проекция градиента функции, обеспечивая, что шаг оптимизации остается в пределах допустимого многообразия и соответствует локальному направлению улучшения решения. Таким образом, риманов градиент предоставляет локальную меру улучшения решения, учитывающую геометрию самого многообразия и гарантирующую корректное направление движения по нему.

Алгоритм оптимизации использует точный поиск шага (exact line search) для определения оптимальной величины перемещения вдоль градиента на каждой итерации. Качество решения оценивается с помощью функции стоимости (cost function), позволяющей количественно определить степень улучшения на каждом шаге. Анализ показывает, что сложность алгоритма по числу итераций составляет $𝒪(\sqrt{N} \log(1/\epsilon))$, где $N$ — размерность пространства, а $\epsilon$ — требуемая точность.

Оптимизационная траектория для 6 кубитов, полученная с использованием 5-факторной ретракции с фиксированным шагом, демонстрирует плавное увеличение стоимости до максимального значения, что характерно для метода градиентного подъема.
Оптимизационная траектория для 6 кубитов, полученная с использованием 5-факторной ретракции с фиксированным шагом, демонстрирует плавное увеличение стоимости до максимального значения, что характерно для метода градиентного подъема.

Сходимость и практическая применимость алгоритма

В основе практической реализации предложенного алгоритма оптимизации лежит так называемая «5-факторная ретракция», использующая $HH$-exp оператор. Этот оператор позволяет существенно упростить вычислительные процедуры, сводя сложность вычислений и обеспечивая высокую эффективность. В отличие от традиционных методов, требующих значительных ресурсов, применение $HH$-exp оператора позволяет добиться существенного ускорения сходимости, делая алгоритм применимым для решения задач, ранее считавшихся вычислительно недоступными. Оптимизация вычислений достигается за счет эффективной обработки пяти ключевых факторов, определяющих траекторию оптимизации, что позволяет минимизировать количество итераций и снизить общую вычислительную нагрузку.

Анализ, основанный на неравенстве локальной PL (Polyak-Lojasiewicz), демонстрирует линейную сходимость предложенного подхода при определенных условиях, что гарантирует достижение высокой точности решения. Данное неравенство, являясь мощным инструментом в оптимизации, позволяет установить, что функция ошибки асимптотически приближается к нулю с линейной скоростью, когда аргумент приближается к оптимальному значению. Это означает, что количество итераций, необходимых для достижения заданной точности $\epsilon$, растет пропорционально $log(1/\epsilon)$, что делает алгоритм особенно эффективным для задач большой размерности. Подтверждено, что сходимость сохраняется при соблюдении определенных ограничений на параметры задачи и свойства функции, что позволяет предсказуемо контролировать процесс оптимизации и обеспечивать надежность получаемых результатов.

Исследование классической моделируемости алгоритма позволило не только подтвердить теоретические предсказания о его эффективности, но и выявить потенциальные ограничения. Численные симуляции демонстрируют, что количество итераций, необходимых для достижения заданного уровня точности, масштабируется линейно с размером решаемой задачи ($N$) и логарифмически от обратной величины требуемой точности ($\log(1/\epsilon)$). Такое поведение указывает на высокую вычислительную эффективность подхода и его применимость к задачам значительных масштабов. Проведение симуляций стало важным этапом верификации, подтверждающим корректность полученных теоретических результатов и предоставляющим практическое понимание поведения алгоритма в различных условиях.

Зависимость общего числа вызовов функции HH-exp от целевой точности ε демонстрирует почти линейный рост итераций с увеличением log10(1/ε) для различных стратегий отступления, совместимых с алгоритмом Гровера, при фиксированном размере задачи N=2¹⁵.
Зависимость общего числа вызовов функции HH-exp от целевой точности ε демонстрирует почти линейный рост итераций с увеличением log10(1/ε) для различных стратегий отступления, совместимых с алгоритмом Гровера, при фиксированном размере задачи N=2¹⁵.

Исследование демонстрирует, что порядок в квантовом поиске проявляется не через жёсткий контроль над состоянием, а через локальные правила, определяющие взаимодействие на многообразии. Авторы предлагают новый взгляд на алгоритм Гровера, формулируя его как задачу римановой оптимизации. Этот подход подчёркивает, что эффективное решение достигается не прямым навязыванием желаемого результата, а использованием естественных свойств пространства состояний. Как заметил Джон Белл: «Если вы можете сформулировать проблему в виде вопроса, ответ может быть найден». В данном случае, переформулировка задачи поиска в терминах оптимизации открыла путь к более глубокому пониманию и реализации квантового преимущества, позволяя алгоритму достичь квадратичного ускорения с оптимальной зависимостью от ошибки.

Что дальше?

Представленная работа, по сути, лишь переформулировала известную задачу поиска Гровера в терминах римановой оптимизации. Не стоит полагать, что это — акт проектирования более эффективного алгоритма, скорее — констатация того, что многие задачи, кажущиеся требующими централизованного управления, естественным образом возникают из локальных правил на подходящем многообразии. Настоящая сложность, как всегда, заключается не в поиске «оптимального» пути, а в понимании, почему эти пути вообще устойчивы.

Перспективы, однако, не сводятся к поиску еще более «физически реализуемых» ретракций. Гораздо интереснее исследовать, как свойства самого унитарного многообразия — его геометрия, топология, ограничения, накладываемые неравенством ПЛ — влияют на устойчивость решения. Робастность, вероятно, возникает сама по себе, как следствие этих ограничений, а не в результате искусственного «проектирования».

В конечном счете, данная работа подчеркивает, что структура системы — её внутренние связи и ограничения — гораздо важнее, чем попытки контролировать отдельных агентов. Попытки «улучшить» алгоритм Гровера, вероятно, будут тщетны, если не учитывать эти фундаментальные принципы. Важнее не изобрести новый способ поиска, а понять, почему поиск вообще возможен.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.08432.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-10 16:20