Оптимизация Комбинаторных Задач: Новый Подход с Использованием Вариационных Методов

Автор: Денис Аветисян

Исследование демонстрирует, что сочетание вариационных методов матричных произведений состояний с итеративным локальным поиском превосходит существующие классические и вдохновленные квантовыми алгоритмами для решения сложных комбинаторных задач.

Исследование производительности алгоритма QiILS на задаче взвешенного MaxCut для тороидальной сети из 800 переменных с весами из множества $\{-1, 1\}$ демонстрирует его превосходство над другими методами, включая LQA (GCS), который примерно в 7 раз медленнее, при этом QiILS достигает наилучшей точности, несмотря на небольшое увеличение времени работы, связанное с тонкой настройкой гиперпараметра для повышения стабильности и скорости улучшения на каждом шаге, а результаты каждого метода оптимизированы по наилучшему выбору гиперпараметров в исследованном пространстве.

В работе представлен эффективный и масштабируемый подход к комбинаторной оптимизации, основанный на комбинации вариационных матричных произведений состояний (MPS) и итеративного локального поиска (ILS), с использованием GPU-параллелизации.

Поиск эффективных решений для задач комбинаторной оптимизации часто сталкивается с вычислительными ограничениями при увеличении масштаба задачи. В данной работе, ‘Variational (matrix) product states for combinatorial optimization’, предлагается вариационный подход, основанный на методе матричных произведений состояний (MPS) и интегрированный с метаэвристическим алгоритмом итерированного локального поиска (ILS). Показано, что предложенный квантово-вдохновленный алгоритм ILS превосходит традиционные методы (M)PS, классический ILS, квантовый алгоритм приближенного оптимизации и другие вариационные подходы на задачах максимального разреза до 50000 переменных. Возможно ли дальнейшее улучшение производительности за счет оптимизации структуры тензорных сетей и адаптации стратегий поиска?

Пределы Классической Оптимизации: Поиск Истины в Неразрешимости

Многие задачи из реального мира, такие как задача о максимальном разрезе ($MaxCut$), демонстрируют вычислительную неразрешимость для классических алгоритмов. Это означает, что время, необходимое для нахождения оптимального решения, экспоненциально возрастает с увеличением размера задачи, делая её практическое решение невозможным даже при использовании мощнейших современных компьютеров. Несмотря на существование эвристических подходов, гарантированное нахождение оптимального решения для больших экземпляров задачи $MaxCut$ или подобных комбинаторных задач остается недостижимой целью, что побуждает исследователей к поиску принципиально новых алгоритмических парадигм.

Традиционные методы оптимизации, такие как метод итерированного локального поиска, демонстрируют свою эффективность в решении многих задач, однако часто сталкиваются с проблемой «локальных оптимумов». В процессе поиска наилучшего решения алгоритм может застревать в точке, которая является оптимальной лишь в пределах некоторой ограниченной области, не позволяя ему обнаружить истинный, глобальный оптимум. Это происходит из-за того, что алгоритм, стремясь к улучшению, исследует лишь соседние решения, и при отсутствии механизма, позволяющего «выпрыгнуть» из локальной области, он не может выбраться из неё, даже если глобальный оптимум находится далеко. Данное ограничение существенно снижает производительность и качество решения, особенно при работе со сложными, многомерными задачами, требующими глобальной оптимизации.

Масштабирование традиционных методов оптимизации, таких как локальный поиск, до размеров, характерных для задач, представленных экземплярами Gset, сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Экземпляры Gset, известные своей сложностью и большим объемом данных, быстро приводят к экспоненциальному росту требований к памяти и времени вычислений. Это связано с тем, что каждый новый элемент в задаче требует повторной оценки всех возможных решений, что делает поиск оптимального решения непрактичным даже для современных вычислительных мощностей. Таким образом, стремление к масштабируемым алгоритмам, способным эффективно работать с задачами, подобными Gset, является ключевой задачей в современной оптимизации и стимулирует поиск новых парадигм, выходящих за рамки классических подходов.

В связи с ограничениями классических методов оптимизации, особенно при работе со сложными задачами, такими как Maximum Cut Problem, возникает необходимость в исследовании принципиально новых алгоритмических подходов. Эти подходы должны обладать способностью эффективно преодолевать локальные оптимумы, в которые часто “застревают” традиционные алгоритмы, и масштабироваться для решения задач, представленных, например, экземплярами Gset. Исследование новых парадигм, отличных от Iterated Local Search и других классических методов, направлено на поиск решений, способных более эффективно исследовать сложное пространство поиска и находить глобальные оптимумы, что критически важно для решения реальных задач, где вычислительная эффективность и качество решения играют решающую роль.

Квантовые Вдохновения: Новый Подход к Оптимизации

Квантовый отжиг представляет собой перспективный подход к решению задач оптимизации, использующий квантовые явления, такие как квантовая суперпозиция и туннелирование, для поиска оптимальных решений. Однако, реализация квантового отжига требует специализированного оборудования — квантовых отжигателей, таких как машины компании D-Wave Systems. Эти устройства отличаются от универсальных квантовых компьютеров и предназначены исключительно для решения задач оптимизации, кодируемых в виде функций энергии. Необходимость в подобном оборудовании является существенным ограничением, поскольку квантовые отжигатели сложны в производстве, требуют поддержания сверхнизких температур и обладают ограниченной связностью между кубитами, что влияет на размер и сложность решаемых задач.

Локальный отжиг (Local Quantum Annealing, LQA) представляет собой модификацию квантового отжига, направленную на снижение требований к аппаратному обеспечению. В отличие от глобального квантового отжига, LQA оперирует с локальными операциями, что позволяет использовать менее сложные квантовые схемы и, следовательно, менее мощное оборудование. Однако, несмотря на упрощение аппаратной реализации, LQA по-прежнему сталкивается с проблемами масштабируемости при решении задач оптимизации большого размера. Это связано с тем, что локальные операции могут быть недостаточны для эффективного исследования всего пространства решений, что приводит к застреванию в локальных минимумах и увеличению времени вычислений при увеличении размера задачи.

Мы представляем Quantum-inspired ILS — новый метод, объединяющий устойчивость алгоритма Iterated Local Search (ILS) с возможностями представления Matrix Product State (MPS). В основе метода лежит использование MPS для кодирования и манипулирования решениями задачи оптимизации, что позволяет эффективно исследовать пространство поиска. ILS используется для локальной оптимизации и предотвращения застревания в локальных минимумах, в то время как MPS обеспечивает компактное представление решений и позволяет выполнять операции над ними с меньшими вычислительными затратами. Такое сочетание позволяет приблизительно решать сложные вычислительные задачи без использования полноценного квантового компьютера.

Предлагаемый квантово-вдохновленный алгоритм ILS позволяет аппроксимировать решения вычислительно сложных задач без использования полноценного квантового компьютера. Проведенные тесты на экземплярах G12 и Gset показали, что данный метод обеспечивает прирост производительности в один порядок величины по сравнению с алгоритмами Local Quantum Annealing (LQA), Gradient Climbing Search (GCS) и Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). Это достигается за счет комбинирования надежности итеративного локального поиска (Iterated Local Search) с возможностями представления состояний в виде матриц произведения состояний (Matrix Product State), что позволяет эффективно исследовать пространство решений без необходимости в квантовом оборудовании.

Сравнительный анализ с QAOA показывает, что предлагаемый алгоритм QiILS демонстрирует сопоставимую или лучшую производительность на графах u3R и w3R, при этом глубина цепи (ι или χ) играет ключевую роль в достижении точности, аналогично параметру глубины в QAOA.

Тензорные Сети как Основа: Реализация и Детали

Состояния многих квантовых систем могут быть эффективно представлены с помощью матричных произведений состояний (Matrix Product States, MPS). В отличие от полного описания волновой функции, требующего экспоненциального объема памяти, MPS позволяет представить $N$-частичное квантовое состояние с использованием порядка $D^2N$ параметров, где $D$ — размерность связи (bond dimension). Это существенное сокращение размерности достигается за счет представления волновой функции как сети тензоров, что позволяет выполнять операции над состоянием, такие как вычисление энергии или эволюция во времени, с существенно меньшими вычислительными затратами. Эффективность MPS особенно заметна при моделировании одномерных квантовых систем, где можно достичь высокой точности при умеренных значениях $D$.

Параметр размерности связи (Bond Dimension) в представлении Matrix Product State (MPS) определяет точность аппроксимации квантового состояния. Увеличение размерности связи приводит к более точному представлению, поскольку позволяет кодировать больше информации о корреляциях между кубитами. В то же время, увеличение размерности связи экспоненциально увеличивает вычислительные затраты и объем необходимой памяти. Таким образом, выбор оптимальной размерности связи представляет собой компромисс между точностью и вычислительной эффективностью. Размерность связи $D$ ограничивает максимальный ранг тензорных произведений, используемых для построения MPS, и влияет на способность представления запутанных состояний. В практических расчетах размерность связи является ключевым параметром, определяющим качество приближения исходного квантового состояния.

Библиотека ITensor представляет собой мощный программный каркас, предназначенный для выполнения вычислений с использованием представлений в виде матричных произведений состояний (Matrix Product States, MPS) и реализации алгоритма ренормированной группы плотности (Density Matrix Renormalization Group, DMRG). Она обеспечивает эффективные инструменты для работы с тензорными сетями, включая операции сжатия, умножения и вычисления различных физических величин. ITensor поддерживает как стандартные типы тензоров, так и специализированные форматы, оптимизированные для MPS, что позволяет эффективно работать с высокоразмерными квантовыми системами. Архитектура библиотеки спроектирована таким образом, чтобы упростить разработку и реализацию сложных алгоритмов квантовой физики и теоретической химии, предоставляя пользователям гибкий и удобный интерфейс для работы с тензорными сетями и проведения численных расчетов.

В рамках нашего квантово-вдохновленного алгоритма ILS (Iterated Local Search) мы используем возможности библиотек для работы с тензорными сетями, в частности, матричными произведениями операторов (MPO) и гамильтонианом Изинга. Применение MPO позволяет эффективно представлять квантовые состояния и оперировать ими, существенно сокращая вычислительные затраты при исследовании пространства решений. Гамильтониан Изинга, в свою очередь, служит основой для моделирования энергетических ландшафтов, что необходимо для реализации локального поиска и итеративного улучшения решений в алгоритме ILS. Такой подход позволяет эффективно находить приближенные решения сложных оптимизационных задач, используя принципы, заимствованные из квантовой механики и теории конденсированного состояния, применительно к классическим алгоритмам оптимизации.

Исследование гиперпараметров QiILS показало, что производительность алгоритма, оцениваемая средней относительной ошибкой на 1000 случайных графах, зависит от числа итераций, размерности связей и, в меньшей степени, от силы возмущений, причём оптимальные значения этих параметров различаются для графов u3R и w3R.

Анализ Производительности и Масштабируемости: Подтверждение Эффективности

Исследование демонстрирует высокую эффективность алгоритма Quantum-inspired ILS при решении задачи максимального разреза на графе G81 — крупномасштабном экземпляре, представляющем значительную сложность для традиционных методов. Данный граф, состоящий из десятков тысяч вершин и ребер, служит эталоном для оценки производительности алгоритмов оптимизации. Полученные результаты свидетельствуют о способности Quantum-inspired ILS эффективно находить приближенные решения задачи максимального разреза даже для таких масштабных и сложных графов, что подтверждает перспективность использования квантово-вдохновленных подходов для решения сложных комбинаторных задач. Алгоритм показал способность находить качественные решения в разумные сроки, что делает его привлекательным для практического применения в различных областях, требующих оптимизации больших графов.

В рамках исследования, значительное ускорение вычислений градиентов в компоненте Quantum-inspired Iterative Global Search (QiIGS) было достигнуто за счет применения параллельных вычислений на графических процессорах (GPU). Данный подход позволил существенно сократить время, необходимое для обновления параметров алгоритма, что особенно важно при решении масштабных задач, таких как Maximum Cut Problem. Использование GPU позволило распараллелить вычисления, которые ранее выполнялись последовательно на центральном процессоре, тем самым увеличив пропускную способность и снизив общую вычислительную нагрузку. Такое ускорение является ключевым фактором, позволяющим эффективно применять QiIGS для анализа графов, содержащих десятки тысяч переменных, и получать конкурентоспособные результаты в сравнении с традиционными методами.

Результаты исследований демонстрируют, что предложенный квантово-вдохновленный локальный поиск (Quantum-inspired Iterative Local Search, QiILS), дополненный методом золотого сечения, обеспечивает сопоставимые значения коэффициентов аппроксимации по сравнению с традиционными алгоритмами решения задачи максимального разреза графа. В частности, применение метода золотого сечения позволило оптимизировать процесс поиска, приближая решение к оптимальному с высокой эффективностью. Полученные результаты свидетельствуют о перспективности использования квантово-вдохновленных подходов для решения сложных комбинаторных задач, предоставляя конкурентоспособную альтернативу существующим методам и открывая возможности для дальнейших исследований в данной области. Данный подход позволяет достигать качественных решений, сопоставимых с результатами, полученными с помощью более ресурсоемких традиционных алгоритмов.

Исследования показали, что разработанный Quantum-inspired Iterative Global Search (QiIGS) демонстрирует значительное ускорение по сравнению с базовым Quantum-inspired ILS (QiILS) при решении крупномасштабной задачи Maximum Cut на графе G81, содержащем 20,000 переменных — ускорение составляет порядка одной десятичной величины. При этом, время работы QiIGS остается практически независимым от размера задачи при увеличении числа переменных до 50,000. Для сравнения, алгоритм Local Quadratic Approximation (LQA) оказался в 7-9000 раз медленнее на каждом цикле по сравнению с QiILS и ILS, что подчеркивает эффективность предложенного подхода для обработки задач больших масштабов и сложных вычислений.

Сравнение алгоритмов QiIGS и QiILS показывает, что QiIGS обеспечивает более высокую точность решения задачи на графах u3R, при этом время выполнения одной итерации масштабируется линейно с увеличением размера задачи и эффективно использует ресурсы GPU NVIDIA L4 и CPU Apple M2.

Представленное исследование демонстрирует, что сочетание вариационных методов матричного произведения состояний (MPS) с итеративным локальным поиском (ILS) превосходит существующие классические и вдохновленные квантовой физикой алгоритмы в решении задач комбинаторной оптимизации. Этот подход подчеркивает важность математической строгости и доказательности в алгоритмах, а не просто эмпирической работоспособности. В связи с этим, уместно вспомнить слова Нильса Бора: «Противоположности кажутся противоположными, но на самом деле являются частными случаями одной и той же сущности». Аналогично, кажущиеся противоположными подходы — классические и квантовые — в данном исследовании объединяются для достижения оптимального решения, демонстрируя, что истинная элегантность алгоритма заключается в его математической чистоте и корректности.

Что Дальше?

Представленные результаты, безусловно, демонстрируют эффективность комбинации вариационных методов матричных произведений состояний (MPS) с итеративным локальным поиском (ILS). Однако, триумф практической реализации не должен заслонять фундаментальную истину: данное решение — это, по сути, утонченная эвристика. Несмотря на превосходство над существующими классическими и вдохновленными квантовым отжигом алгоритмами, отсутствует доказательство глобальной оптимальности. Поиск, пусть и эффективный, остается методом проб и ошибок, замаскированным под математическую элегантность.

Дальнейшие исследования неизбежно должны быть направлены на преодоление этой методологической слабости. Очевидным направлением представляется попытка формализации условий, при которых данная комбинация MPS и ILS гарантированно сходится к оптимальному решению, или хотя бы к решению, удовлетворяющему заданным критериям близости к оптимуму. Не менее важной задачей является исследование границ применимости данного подхода к различным классам комбинаторных задач, выявление тех случаев, когда предложенный метод оказывается неэффективным или уступает альтернативным решениям.

Параллельно следует продолжить разработку методов аппаратной реализации, в частности, оптимизацию GPU-параллелизации, для масштабирования предложенного алгоритма на задачи, недоступные для решения на существующих вычислительных платформах. Однако, следует помнить: увеличение вычислительной мощности не заменит строгости математического доказательства.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.20613.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-24 08:46

🚀 Квантовые новости