Хаос и порядок в квантовых флуктуациях: неожиданная классическая типичность

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование показывает, что поведение флуктуаций тока в зашумленных квантовых системах удивительно хорошо описывается классическими моделями, открывая неожиданную связь между квантовым и классическим мирами.

Квантовая цепь, подключенная к марковским резервуарам на концах, переводится в стационарное неравновесное состояние, при этом каждый переход частицы между звеньями сопровождается излучением или поглощением фотона во вспомогательном резервуаре, что позволяет, посредством измерения заполнения резервуара в моменты времени <span class="katex-eq" data-katex-display="false">t=0</span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false">t</span>, определить интегрированный ток <span class="katex-eq" data-katex-display="false">Q_j(t)</span> через каждое звено и, в пределе Маркова, эволюционировать производящую функцию моментов <span class="katex-eq" data-katex-display="false">Q_j(t)</span> с использованием смещенного гамильтониана QSSIP/QSSEP (17). — Квантовая цепь, подключенная к марковским резервуарам на концах, переводится в стационарное неравновесное состояние, при этом каждый переход частицы между звеньями сопровождается излучением или поглощением фотона во вспомогательном резервуаре, что позволяет, посредством измерения заполнения резервуара в моменты времени $t=0$ и $t$ , определить интегрированный ток $Q_j(t)$ через каждое звено и, в пределе Маркова, эволюционировать производящую функцию моментов $Q_j(t)$ с использованием смещенного гамильтониана QSSIP/QSSEP (17).

В работе продемонстрирована универсальность классических флуктуаций в больших отклонениях тока для квантовых систем QSSEP и QSSIP, с квантовыми поправками, проявляющимися лишь на субведущих порядках.

Несмотря на сложность квантовых систем, их флуктуационные свойства часто оказываются удивительно близки к классическим. В данной работе, ‘Universal classical and quantum fluctuations in the large deviations of current of noisy quantum systems: The case of QSSEP and QSSIP’, исследуется статистика токов в шумовых квантовых диффузионных системах, таких как квантовые симметричные процессы исключения и включения (QSSEP/QSSIP). Показано, что в пределе больших масштабов флуктуации токов демонстрируют «классическую типичность», то есть хорошо описываются классическими стохастическими моделями, при этом квантовые поправки проявляются лишь в старших порядках. Может ли такое приближение к классическому поведению стать основой для разработки квантового обобщения теории макроскопических флуктуаций и раскрыть новые возможности контроля над квантовыми системами?

Квантовые цепи: Фундамент неравновесной динамики

Понимание неравновесных систем имеет решающее значение для моделирования широкого спектра физических явлений, простирающихся от переноса тепла и электропроводности в материалах до сложных биологических процессов, происходящих в живых организмах. Эти системы, находящиеся вдали от термодинамического равновесия, характеризуются потоками энергии и вещества, которые определяют их динамическое поведение. Исследование неравновесных процессов необходимо для разработки новых материалов с улучшенными тепловыми свойствами, а также для понимания функционирования биологических систем, таких как транспорт ионов через клеточные мембраны или процессы, лежащие в основе работы мозга. Более того, принципы, управляющие неравновесными системами, находят применение в различных областях, включая разработку эффективных солнечных батарей и создание новых технологий хранения энергии. $ΔS = \intdQ/T$ Анализ этих систем требует применения передовых теоретических и экспериментальных методов, позволяющих раскрыть фундаментальные законы, определяющие их поведение.

Квантовая цепь представляет собой основополагающую модель для изучения систем, находящихся вдали от равновесия, демонстрируя поведение, принципиально отличающееся от классических представлений. В отличие от классических цепей, где частицы движутся независимо, в квантовой цепи возникает запутанность и коллективные эффекты, обусловленные принципами квантовой механики. Это приводит к возникновению новых состояний материи и явлений, таких как квантовый транспорт, где энергия и информация могут распространяться без диссипации. Исследование квантовых цепей позволяет понять сложные процессы в конденсированных средах, а также разрабатывать новые материалы и устройства, использующие квантовые эффекты. Например, в $1D$ -системах, подобных квантовой цепи, наблюдаются экзотические квазичастицы — магноны и спиноны — не имеющие аналогов в классической физике, что открывает перспективы для создания спинтронных устройств нового поколения.

Теоретический инструментарий: Описание квантовой эволюции

Уравнение Линдблада представляет собой мощный инструмент для описания временной эволюции открытых квантовых систем, взаимодействующих с диссипативными резервуарами. В отличие от замкнутых систем, эволюция которых описывается уравнением Шрёдингера, открытые системы испытывают необратимые процессы, такие как спонтанное излучение или взаимодействие с окружающей средой, приводящие к диссипации энергии и декогеренции. Уравнение Линдблада учитывает эти процессы, вводя дополнительные члены — так называемые линдбладовские операторы — которые описывают влияние резервуара на систему. Эти операторы обеспечивают сохранение следа матрицы плотности ρ, что гарантирует нормировку квантового состояния во времени, и позволяют корректно моделировать процессы диссипации и декогеренции в открытых квантовых системах.

В основе формализма Уравнения Линдблада лежит матрица плотности ρ, представляющая собой полное описание квантового состояния системы. Матрица плотности является оператором, действующим в гильбертовом пространстве, и позволяет учитывать как когерентные, так и некогерентные (смешанные) состояния. Диссипацию, вызванную взаимодействием с резервуаром, описывают так называемые линдбладовские термы. Эти термы являются линейными операторами, обеспечивающими сохранение следа матрицы плотности $Tr(\rho) = 1$ и положительную определенность матрицы плотности, что необходимо для корректного описания физической системы. Линдбладовские термы включают в себя операторы уничтожения и рождения, определяющие скорость перехода между различными квантовыми состояниями под действием диссипативных процессов.

Динамика открытых квантовых систем описывается стохастическим гамильтонианом, который строится на основе операторов рождения и уничтожения. Эти операторы, обозначаемые как $a$ и $a^{\dagger}$ соответственно, подчиняются коммутационным соотношениям вида $[a, a^{\dagger}] = 1$ , где квадратные скобки обозначают коммутатор. Именно эти соотношения определяют фундаментальные свойства квантовых систем и позволяют описывать процессы создания и уничтожения квантов энергии, формируя основу для вычисления временной эволюции системы и ее взаимодействия с окружением. Введение стохастических сил в гамильтониан позволяет учитывать влияние диссипативных резервуаров и описывать негермитову динамику, характерную для открытых квантовых систем.

Сравнительный анализ кумулятивной генерирующей функции <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \mathbb{E}[F_{{\rm qu},w}(u)] </span> для бозонных и фермионных систем при <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \varepsilon = \pm 1 </span> демонстрирует соответствие теоретических расчетов (сплошные линии) и данных микроскопической динамики (символы) для систем размером до <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> N \leq 64 </span> при плотностях резервуаров <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \bar{n}_{0} = 0.3 </span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \bar{n}_{N} = 0.2 </span>, при этом для бозонного случая функция определена в интервале <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> u \in (u_{-}, u_{+}) </span>. — Сравнительный анализ кумулятивной генерирующей функции $\mathbb{E}[F_{{\rm qu},w}(u)]$ для бозонных и фермионных систем при $\varepsilon = \pm 1$ демонстрирует соответствие теоретических расчетов (сплошные линии) и данных микроскопической динамики (символы) для систем размером до $N \leq 64$ при плотностях резервуаров $\bar{n}_{0} = 0.3$ и $\bar{n}_{N} = 0.2$ , при этом для бозонного случая функция определена в интервале $u \in (u_{-}, u_{+})$ .

Соединяя квантовую и классическую картины

Открытая модель QSSEP/QSSIP (Quantum Stochastic Schrödinger Equation with Perturbations/Quantum Stochastic Schrödinger Equation with Input and Perturbation) предоставляет теоретическую основу для установления связи между квантовой динамикой и её классическим аналогом. Данная модель рассматривает квантовую систему, взаимодействующую с окружающей средой (резервуаром), и описывает эволюцию её плотности состояния с учетом этого взаимодействия. В рамках этой модели, шум, возникающий вследствие взаимодействия с резервуаром, рассматривается как ключевой элемент, влияющий на переход от квантового к классическому поведению. Она позволяет формализовать процесс декогеренции и исследовать условия, при которых квантовые эффекты ослабевают, приводя к наблюдаемому классическому поведению системы. $\rho(t)$ — матрица плотности, описывающая состояние системы в момент времени $t$ .

Усреднение по шуму в квантовой модели открытого стохастического процесса с сохранением вероятности (QSSEP) позволяет получить классическую модель стохастического процесса с сохранением вероятности (SSIP). Этот переход к классическому описанию дает возможность использовать хорошо разработанные методы анализа неравновесных систем, такие как уравнения Фоккера-Планка и методы Монте-Карло, для изучения поведения системы, изначально описываемой в квантовых терминах. Полученная классическая SSIP представляет собой детерминированное уравнение, дополненное случайным шумом, что позволяет применять существующие инструменты для исследования стационарных состояний, потоков вероятности и других ключевых характеристик неравновесной динамики. $\frac{\partial P}{\partial t} = - \nabla \cdot J$ , где $P$ — функция распределения вероятностей, а $J$ — поток вероятности, является примером применяемого инструмента.

Формализация процесса усреднения, известная как усреднение по шуму (Noise Averaging), позволяет установить соответствие между квантовым и классическим описаниями систем, находящихся в неравновесном состоянии. Данный метод предполагает вычисление среднего значения квантовых величин по ансамблю, учитывающему флуктуации, вызванные шумом. В результате получается классическое описание, которое можно анализировать с использованием хорошо известных методов для неравновесных систем. Процедура усреднения формально описывается как $\langle O \rangle = \in t \rho(z) O(z) dz$ , где $\rho(z)$ — функция плотности вероятности шума, а $O(z)$ — оператор, зависящий от флуктуаций. Это позволяет сравнивать предсказания квантовой и классической теорий и выявлять области, где классическое приближение является адекватным.

Точное решение уравнений (51) демонстрирует различные профили функций <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \mathfrak{g}_{1}(x) </span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \xi(x) </span> для фермионных (QSSEP, <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \varepsilon = -1 </span> - верхние панели) и бозонных (QSSIP, <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \varepsilon = 1 </span>, - нижние панели) случаев при фиксированных плотностях резервуаров <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \bar{n}_{0} = 0.3 </span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \bar{n}_{N} = 0.2 </span>. — Точное решение уравнений (51) демонстрирует различные профили функций $\mathfrak{g}_{1}(x)$ и $\xi(x)$ для фермионных (QSSEP, $\varepsilon = -1$ — верхние панели) и бозонных (QSSIP, $\varepsilon = 1$ , — нижние панели) случаев при фиксированных плотностях резервуаров $\bar{n}_{0} = 0.3$ и $\bar{n}_{N} = 0.2$ .

Характеризуя флуктуации и масштабное поведение

Теория макроскопических флуктуаций, в сочетании с классической моделью SSEP/SSIP, предоставляет эффективный подход к изучению редких событий и значительных отклонений от среднего поведения в сложных системах. Данный подход позволяет исследовать вероятность возникновения необычных состояний, которые в противном случае были бы скрыты в рамках стандартного статистического анализа. Сочетание этих теоретических инструментов позволяет не только описывать, но и предсказывать вероятность больших отклонений, что особенно важно для понимания динамики систем, находящихся вдали от равновесия. Изучение подобных отклонений открывает возможности для контроля и управления свойствами систем, а также для выявления новых физических явлений, проявляющихся в экстремальных условиях.

Отклонения от типичного поведения в сложных системах, хотя и редки, играют ключевую роль в понимании их свойств. Для математического описания этих отклонений используется принцип больших отклонений, позволяющий оценить вероятность редких событий. Центральным инструментом в этом анализе является кумулянт-генерирующая функция $G(s)$ , которая кодирует информацию о всех кумулянтах распределения вероятностей. Кумулянт, по сути, представляет собой меру отклонения от гауссовского поведения, и его знание позволяет точно характеризовать редкие флуктуации. Применение кумулянт-генерирующей функции обеспечивает мощный математический аппарат для изучения систем, демонстрирующих нелинейное поведение и сложные корреляции, позволяя предсказывать и интерпретировать события, выходящие за рамки типичных.

Исследование демонстрирует, что флуктуации тока в квантовых системах, подверженных шуму, оказываются независимыми от конкретной реализации шумового процесса и удивительным образом совпадают с флуктуациями в соответствующей классической системе. Этот результат служит важным подтверждением принципов макроскопической теории флуктуаций. Установлено, что статистические характеристики отклонений от среднего поведения в квантовой системе, несмотря на присутствие квантовых эффектов, определяются теми же факторами, что и в классическом аналоге. Такое совпадение позволяет использовать хорошо развитые методы классической теории для анализа и предсказания поведения квантовых систем в условиях шума, значительно упрощая сложность расчетов и открывая новые возможности для понимания их динамики. Полученные данные подтверждают универсальность макроскопической теории флуктуаций, ее применимость не только к классическим, но и к квантовым системам, подверженным случайным воздействиям.

Исследование показывает, что дисперсия величины $F_{qu,w}(u)$ обратно пропорциональна квадрату числа частиц, то есть масштабируется как $1/N^2$ . При этом квантовые поправки к кумулянтам третьего порядка оказываются идентичными поправкам, возникающим в классическом процессе из-за конечных размеров системы (bulk finite-size corrections), масштабирующимся как $1/N$ . Этот результат указывает на тесную связь между квантовыми флуктуациями и классическим поведением, подчеркивая универсальность описываемых явлений и позволяя использовать классические методы для анализа квантовых систем при определенных условиях. Обнаруженное соответствие в масштабировании предоставляет важный инструмент для изучения флуктуаций в сложных системах и проверки теоретических моделей.

Исследование квантовых флуктуаций выявило, что поправки, возникающие вследствие квантовой природы системы, масштабируются как $O(1/N)$ . Это означает, что вклад этих поправок является доминирующим при больших значениях $N$ , где $N$ представляет собой характерный параметр системы, часто связанный с количеством частиц или объемом. Данное масштабирование указывает на то, что квантовые эффекты вносят существенный вклад в общее поведение системы, особенно в пределе больших систем. Полученный результат демонстрирует, что поправки порядка $1/N$ являются ведущими в рассмотренном приближении и определяют ключевые отличия от классического поведения, позволяя более точно описывать флуктуации в квантовых системах и предсказывать их свойства.

Численное моделирование показывает, что дисперсия силы <span class="katex-eq" data-katex-display="false">var(F_{qu,w}(u))</span> масштабируется как <span class="katex-eq" data-katex-display="false">1/N^2</span> для как фермионных, так и бозонных случаев при различных амплитудах смещения, что подтверждается данными, полученными при плотностях резервуаров <span class="katex-eq" data-katex-display="false">ar{n}_0 = 0.3</span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false">ar{n}_N = 0.2</span>. — Численное моделирование показывает, что дисперсия силы $var(F_{qu,w}(u))$ масштабируется как $1/N^2$ для как фермионных, так и бозонных случаев при различных амплитудах смещения, что подтверждается данными, полученными при плотностях резервуаров $ar{n}_0 = 0.3$ и $ar{n}_N = 0.2$ .

Исследование флуктуаций тока в квантовых системах показывает, что даже в хаотичной среде проявляется предсказуемость. Классическая типичность, выявленная в работе, предполагает, что макроскопическое поведение систем подчиняется классическим стохастическим моделям, а квантовые поправки лишь незначительно влияют на общую картину. Как заметил Галилей: «Вселенная написана на языке математики». Это высказывание, кажется, особенно уместно здесь, поскольку математическое описание классических процессов оказывается удивительно точным даже применительно к квантовым системам, подчеркивая, что хаос — это не сбой, а язык природы, выраженный через вероятностные распределения. Стабильность, в данном контексте, — это не абсолютное состояние, а иллюзия, возникающая из-за достаточного количества данных для статистического анализа.

Что дальше?

Представленная работа демонстрирует, что даже в шумных квантовых системах, поведение токов в больших отклонениях удивительно подчиняется классической типичности. Это не отменяет квантовую природу системы, но намекает на то, что архитектуры, стремящиеся к предсказуемости, неизбежно оказываются заложниками классических ограничений. Каждая новая схема, обещающая контроль над флуктуациями, рано или поздно потребует жертвоприношений в виде вычислительных ресурсов и сложности. Порядок — это лишь временный кэш между неизбежными сбоями.

Однако, упрощение до классической картины — не окончательный ответ. Ограничение рассмотрения лишь ведущими членами разложения, оставляет за кадром тонкие квантовые эффекты, которые могут проявиться в экстремальных условиях или в системах с высокой степенью запутанности. Следующим шагом видится углубленное исследование этих поправок, а также их влияние на нелинейные процессы и динамику фазовых переходов. Иначе говоря, необходимо понять, где и когда классическая типичность перестает быть адекватным приближением.

В конечном счете, данная работа подчеркивает, что системы — это не инструменты, а экосистемы. Их нельзя построить, только взрастить. Архитектурный выбор — это всегда пророчество о будущем сбое. Попытки создать идеальную модель, свободную от флуктуаций, обречены на провал. Истинная задача — не избежать хаоса, а научиться жить с ним, извлекая из него пользу.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.16883.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-26 09:29

🚀 Квантовые новости