Автор: Денис Аветисян
В статье представлена расширенная архитектура нейронных сетей, использующая алгебру Клиффорда для эффективного моделирования многомерных функций.
Предлагается подход на основе сеток Соболя для преодоления проклятия размерности в сетях Kolmogorov-Arnold, демонстрирующий сопоставимую или улучшенную производительность по сравнению с существующими комплексными нейронными сетями.
Несмотря на широкое применение нейронных сетей в задачах аппроксимации функций, их эффективность в пространствах Клиффорда, характеризующихся экспоненциальным ростом размерности, остается сложной задачей. В данной работе представлена архитектура ‘Clifford Kolmogorov-Arnold Networks’ (ClKAN), расширяющая возможности сетей Колмогорова-Арнольда для работы с алгебрами Клиффорда произвольной размерности. Предлагаемый подход использует генерацию сетки на основе квази-Монте-Карло, в частности, решетки Соболя, для смягчения проблемы размерности и демонстрирует сопоставимую или улучшенную производительность по сравнению с существующими комплексными нейронными сетями. Сможет ли данная архитектура стать основой для новых алгоритмов в областях научной визуализации и решения задач физики?
Преодолевая Ограничения Традиционных Сетей: Почему MLP Необходима Переоценка
Традиционные многослойные персептроны (MLP) сталкиваются с серьезными трудностями при представлении функций в многомерных пространствах. Для адекватного отображения даже умеренно сложных зависимостей количество параметров сети растет экспоненциально с увеличением размерности входных данных. Это означает, что для представления функций в пространствах высокой размерности требуется огромное количество весов и смещений, что приводит к вычислительной неэффективности и риску переобучения. Фактически, для достижения приемлемой точности в задачах с высокой размерностью, MLP вынуждены учить не только саму функцию, но и компенсировать свою неспособность эффективно ее представлять, что существенно ограничивает их обобщающую способность и практическое применение в сложных сценариях, таких как обработка изображений высокого разрешения или анализ геномных данных.
Проблема масштабируемости многослойных персептронов (MLP) оказывает существенное влияние на их способность к обобщению, особенно в сложных сценариях. По мере увеличения размерности входных данных и сложности решаемой задачи, количество параметров, необходимых для эффективного представления функции, растет экспоненциально. Это приводит к переобучению — модели запоминает обучающие данные, но теряет способность правильно классифицировать или прогнозировать новые, ранее не встречавшиеся примеры. В результате, MLP испытывают трудности с экстраполяцией полученных знаний на новые ситуации, что ограничивает их применимость в реальных задачах, требующих высокой степени адаптивности и обобщающей способности. Такая неэффективность особенно заметна при работе с данными высокой размерности, где стандартные MLP требуют огромных вычислительных ресурсов и больших объемов данных для достижения приемлемой точности.
Теорема Колмогорова-Арнольда (KAT) представляет собой фундаментальный результат в теории функций, предлагающий принципиально иной подход к представлению сложных зависимостей, чем традиционные многослойные перцептроны (MLP). Согласно этой теореме, любая непрерывная функция на n-мерном пространстве может быть представлена в виде суммы из N однородных функций, где N зависит лишь от размерности пространства и требуемой точности, но не от сложности самой функции. Это означает, что KAT позволяет аппроксимировать даже крайне сложные функции с использованием значительно меньшего числа параметров, чем потребовалось бы для MLP, страдающих от экспоненциального роста числа весов с увеличением размерности входных данных. Таким образом, KAT открывает теоретическую возможность создания моделей, способных эффективно обобщать данные и справляться со сложностью, превосходящей возможности стандартных MLP, обеспечивая более компактное и эффективное представление функций.
Кольмогоров-Арнольдовские Сети: Новый Подход к Представлению Функций
Кольмогоров-Арнольдовская сеть (KAN) использует радиальные базисные функции (РБФ) для создания компактного представления сложных функций. В основе KAN лежит идея аппроксимации функции путем линейной комбинации РБФ, каждая из которых зависит от расстояния до определенного центра. В отличие от традиционных методов, требующих большого количества параметров для достижения высокой точности, KAN стремится к эффективному представлению за счет выбора оптимального набора центров и весов для РБФ. Это позволяет достичь высокой точности аппроксимации, используя значительно меньшее число параметров, чем, например, в многослойных персептронах, особенно для функций с высокой размерностью. Математически, функция f(x) аппроксимируется как f(x) \approx \sum_{i=1}^{N} w_i \phi(||x - c_i||), где w_i — веса, c_i — центры, а φ — радиальная базисная функция, например, Гауссова функция.
Эффективность Kolmogorov-Arnold Network (KAN) обусловлена способностью приближать сложные функции с использованием ограниченного количества базисных функций. В отличие от традиционных методов, требующих большого числа параметров для достижения необходимой точности, KAN позволяет получить адекватное представление функции, используя существенно меньшее их количество. Это достигается за счет специфической структуры сети и использования радиальных базисных функций, что приводит к снижению вычислительной сложности и требований к памяти, особенно при работе с высокоразмерными данными и сложными функциями. Снижение числа параметров упрощает обучение сети и уменьшает риск переобучения, что положительно сказывается на обобщающей способности модели.
Для обеспечения точной аппроксимации функций в сетях Кольмогорова-Арнольда (KAN) критически важен выбор стратегии сэмплирования. Использование полной сетки (Full Grid) предполагает равномерное распределение точек в пространстве входных данных, что позволяет определить оптимальное расположение радиальных базисных функций. Такой подход гарантирует, что каждая точка данных будет учтена при построении аппроксимирующей функции, минимизируя погрешность и обеспечивая высокую точность представления исходной функции. Плотность точек в полной сетке влияет на точность: более плотная сетка обеспечивает более точную аппроксимацию, но требует больших вычислительных затрат. Выбор оптимальной плотности сетки является компромиссом между точностью и вычислительной эффективностью.
Расширяя Горизонты: CVKAN и ℂlKAN для Комплексных и Многомерных Пространств
Комплекснозначные сети Колмогорова-Арнольда (CVKAN) представляют собой расширение фреймворка KAN для функций, принимающих и возвращающих комплексные числа. В отличие от традиционных сетей, оперирующих вещественными числами, CVKAN используют комплексные числа в качестве входных и выходных данных, что позволяет моделировать функции, определенные в комплексной области. Ключевым элементом архитектуры CVKAN является использование функции активации SiLU (Sigmoid Linear Unit), которая обеспечивает нелинейность и способствует эффективному обучению сети. Применение комплексных чисел и SiLU позволяет CVKAN эффективно обрабатывать данные, имеющие комплексную природу, и моделировать явления, которые естественно описываются в комплексной плоскости.
Расширение архитектуры KAN до комплексных значений позволяет эффективно моделировать явления, которые по своей природе существуют в комплексной области. Это особенно важно для задач, где входные и выходные данные представлены комплексными числами, например, в электродинамике, квантовой механике и обработке сигналов. Использование комплексных чисел позволяет сети напрямую оперировать с фазой и амплитудой сигналов, что повышает точность и эффективность моделирования по сравнению с использованием только вещественных чисел. Такой подход расширяет применимость сети, позволяя решать более широкий круг задач, связанных с анализом и синтезом комплексных данных и процессов, где фазовая информация играет критическую роль.
Клиффордовские сети Колмогорова-Арнольда (ℂlKAN) расширяют возможности моделирования функций в многомерных пространствах за счет использования алгебры Клиффорда (АК). АК позволяет эффективно представлять и обрабатывать геометрические объекты и преобразования в более высоких размерностях, что особенно актуально для задач, где важна ориентация и вращение в пространстве. В отличие от традиционных методов, использующих только вещественные числа для представления координат, ℂlKAN оперируют с мультивекторами, объединяющими скаляры, векторы, бивекторы и другие геометрические сущности. Это позволяет компактно кодировать информацию о форме и структуре объектов, упрощая вычисления и повышая эффективность моделирования в задачах компьютерной графики, робототехники и физики.
Эффективное Сэмплирование и Оценка Производительности ℂlKAN
В архитектуре ℂlKAN используется метод низкодискретного сэмплирования, основанный на решетке Соболя, генерируемой последовательностями Соболя. Этот подход позволяет значительно уменьшить количество параметров, особенно при работе с алгеброй ℂl(1,0,1). В отличие от традиционных методов, требующих большого количества случайных выборок для обеспечения равномерного покрытия пространства параметров, решетка Соболя обеспечивает более равномерное распределение точек при меньшем их количестве. Это не только снижает вычислительную сложность обучения модели, но и способствует повышению её обобщающей способности, поскольку уменьшается риск переобучения на недостаточно репрезентативной выборке. Эффективность данного метода особенно заметна при работе с многомерными пространствами, где количество необходимых параметров быстро возрастает.
В архитектуре ℂlKAN применение пакетной нормализации существенно повышает стабильность процесса обучения и значительно ускоряет сходимость модели. Данная техника нормализует входные данные каждого слоя, уменьшая внутреннее ковариационное смещение и позволяя использовать более высокие скорости обучения без риска расхождения. Это особенно важно при работе с комплексными алгебрами, где нестабильность градиентов может стать серьезной проблемой. Благодаря пакетной нормализации, ℂlKAN демонстрирует более устойчивое обучение и требует меньше итераций для достижения сопоставимой производительности с другими моделями, такими как CVKAN, при этом сохраняя или даже улучшая точность прогнозирования.
Проведенная оценка продемонстрировала сопоставимую эффективность ℂlKAN и CVKAN, при этом ℂlKAN обеспечивает значительное уменьшение количества параметров, особенно в многомерных пространствах. Улучшение производительности стало возможным благодаря увеличению скорости обучения до 0.1, что привело к повышению стабильности и воспроизводимости результатов в ходе экспериментов. Такой подход позволяет достичь сравнимых показателей качества, одновременно снижая вычислительную сложность и требования к ресурсам, что особенно важно при работе с высокоразмерными данными и сложными задачами машинного обучения. Стабильность, достигнутая при повышенной скорости обучения, позволяет более надежно воспроизводить результаты и проводить дальнейшие исследования с уверенностью в их достоверности.
Исследование, представленное в статье, демонстрирует стремление к математической чистоте в построении нейронных сетей. Авторы, расширяя возможности сетей Колмогорова-Арнольда до многомерных клиффордовских алгебр, предлагают элегантное решение проблемы размерности, используя решетку Соболя. Этот подход, направленный на повышение эффективности и точности, перекликается с мыслями Марвина Минского: «Наиболее эффективные решения часто оказываются самыми простыми». Подобно тому, как в статье предлагается изящное решение для борьбы с проклятием размерности, Минский подчеркивает важность лаконичности и ясности в проектировании систем. Использование решетки Соболя в контексте сетей Колмогорова-Арнольда демонстрирует, что истинная эффективность достигается через математическую строгость и продуманность алгоритма.
Что Дальше?
Представленная работа, расширяющая сети Колмогорова-Арнольда до высших размерностей клиффордовских алгебр, не столько разрешает проблему размерности, сколько переносит её в более изящное, хотя и не менее коварное, пространство. Использование сеток Соболя, безусловно, является прагматичным шагом, но напоминает о том, что «оптимизация без анализа» — это самообман и ловушка для неосторожного разработчика. Достигнутое сопоставимое или улучшенное качество аппроксимации функций — это, скорее, подтверждение адекватности подхода, чем его фундаментальное превосходство.
Следующим логичным шагом представляется не столько увеличение вычислительной мощности или поиск более эффективных квазислучайных последовательностей, сколько углубление теоретического понимания связи между геометрической структурой клиффордовских алгебр и способностью сети к обобщению. Особенно важным представляется исследование возможности построения сетей, инвариантных относительно определенных преобразований, что могло бы существенно снизить требования к объему обучающих данных.
Нельзя исключать и возможность применения предложенного подхода к задачам, выходящим за рамки простой аппроксимации функций, например, к задачам машинного зрения или обработки сигналов. Однако, прежде чем приступать к реализации подобных проектов, необходимо тщательно проанализировать, насколько адекватна выбранная математическая модель для решения конкретной задачи, и не является ли её использование лишь изящной, но неоправданной сложностью.
Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2602.05977.pdf
Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/
Смотрите также:
- Квантовая суперпозиция: новая интерпретация вероятности
- Искусственный исследователь: Новые горизонты автономных агентов
- Ускорение генеративных моделей: новый подход к вычислению матричной экспоненты
- Искусственный интеллект: расшифровка паттернов инноваций
- Точность симуляций: Как правильно оценить истинные значения в причинно-следственных исследованиях
- Квантовые игры: поиск равновесия на нейтральных атомах
- Время видеть: как агенты раскрывают многомерное мышление в языковых моделях.
- Квантовая геометрия: новые пути к пониманию пространства-времени
- LLM: математика — предел возможностей.
- Квантовый скачок: от теории к практике
2026-02-07 20:54