Автор: Денис Аветисян
Исследователи продемонстрировали возможности больших языковых моделей в решении открытых математических проблем, открывая перспективы для автоматизированного поиска и проверки гипотез.
В работе представлен пример применения модели Aletheia к задачам Эрдеша, демонстрирующий потенциал ИИ в математических исследованиях, а также необходимость контроля со стороны человека.
Несмотря на значительные успехи в области искусственного интеллекта, автоматическое решение сложных математических задач остается непростой задачей. В работе ‘Semi-Autonomous Mathematics Discovery with Gemini: A Case Study on the Erdős Problems’ представлено исследование возможностей применения больших языковых моделей для решения открытых проблем из базы данных проблем Эрдёша, демонстрирующее, что ИИ способен не только верифицировать, но и находить новые решения, хотя и с оговорками касательно оригинальности. Анализ 700 гипотез выявил, что многие из них оставались «открытыми» скорее из-за незнания существующих решений, чем реальной сложности, при этом модель успешно решила 5 задач, предложив, по всей видимости, новые подходы. Какие этические и методологические вопросы возникают при использовании ИИ в математических исследованиях и как обеспечить прозрачность и проверяемость полученных результатов?
Неизведанные Горизонты Математической Истины
Математика изобилует нерешенными гипотезами, известными как «открытые проблемы», которые десятилетиями оказываются недоступными для человеческого разума. Эти утверждения, кажущиеся элементарными в своей формулировке, таят в себе поразительную сложность, сопротивляясь всем попыткам доказательства или опровержения. Ярким примером служит гипотеза Римана, касающаяся распределения простых чисел, или проблема P versus NP, определяющая границы вычислимой сложности. Несмотря на усилия лучших математиков мира, эти и многие другие вопросы остаются открытыми, стимулируя дальнейшие исследования и расширяя горизонты математического знания. Их устойчивость перед лицом последовательных атак со стороны гениальных умов подчеркивает глубокую и часто непредсказуемую природу математической истины.
Зачастую, прогресс в решении сложных математических задач останавливается не из-за недостатка гениальных умов, а из-за экспоненциального роста числа возможных решений. Представьте себе игру в шахматы: с каждым ходом количество потенциальных партий увеличивается в геометрической прогрессии. Аналогичная ситуация возникает и в математических проблемах, где даже относительно простая формулировка может породить невероятно обширное пространство вариантов. По мере увеличения сложности задачи, перебор всех возможных решений становится практически невозможным даже для самых мощных компьютеров, что приводит к застою и необходимости поиска принципиально новых подходов к решению. n! — факториал, иллюстрирующий эту взрывную сложность, наглядно демонстрирует, как быстро растет количество комбинаций с увеличением числа элементов.
Традиционные методы решения математических задач часто сталкиваются с непреодолимыми трудностями при исследовании огромных пространств возможных решений. Представьте себе задачу, где количество вариантов растет экспоненциально с каждым новым параметром — поиск оптимального ответа становится практически невозможным, даже для самых мощных современных компьютеров. Комбинаторный взрыв, когда количество комбинаций перемножаемых факторов становится астрономическим, быстро перегружает вычислительные ресурсы и делает перебор всех вариантов нереальным. В результате, даже кажущиеся простыми на первый взгляд проблемы, такие как поиск оптимального маршрута или доказательство гипотезы о распределении простых чисел, остаются нерешенными, требуя разработки принципиально новых подходов к исследованию этих сложных пространств.
Aletheia: Прозрение Искусственного Разума
Агент по математическим исследованиям ‘Aletheia’ разработан на базе большой языковой модели ‘Gemini Deep Think’. Эта архитектура позволяет ‘Aletheia’ обрабатывать и анализировать математические тексты, формулы и доказательства, используя возможности модели для понимания взаимосвязей и закономерностей. ‘Gemini Deep Think’ предоставляет ‘Aletheia’ базу знаний и вычислительные ресурсы, необходимые для проведения сложных математических рассуждений и поиска новых решений. Ключевым аспектом является способность модели к генерации и оценке математических утверждений, что отличает ‘Aletheia’ от систем, предназначенных исключительно для проверки уже существующих доказательств.
Агент ‘Aletheia’ развернут на платформе ‘ErdosProblems.com’, представляющей собой базу данных нерешенных математических задач и гипотез. Систематический анализ проводится путем последовательной обработки каждой гипотезы, извлечения ключевых понятий и определения возможных стратегий доказательства. В процессе анализа ‘Aletheia’ использует комбинацию методов, включая анализ существующих публикаций, выявление закономерностей в данных и генерацию новых подходов к решению. Этот подход позволяет агенту выявлять потенциальные направления атаки на проблему, определяя наиболее перспективные области для дальнейших исследований и вычислений. Платформа ‘ErdosProblems.com’ предоставляет структурированный доступ к задачам и позволяет агенту эффективно управлять процессом анализа и генерации гипотез.
В отличие от большинства существующих систем автоматизированного доказательства теорем, которые ограничиваются проверкой уже предложенных доказательств, Aletheia ориентирована на самостоятельное открытие новых доказательств. Это достигается за счет использования генеративных возможностей большой языковой модели Gemini Deep Think для формирования гипотез и построения логических цепочек, направленных на решение нерешенных математических задач. Aletheia не просто проверяет истинность утверждений, но и пытается синтезировать новые математические аргументы, что представляет собой принципиально иной подход к автоматизации математических исследований. Вместо поиска подтверждения заданному решению, система активно ищет пути к решению, исследуя различные математические концепции и \text{отношения}.
Строгая Верификация: Фундамент Математической Достоверности
Формальная верификация представляет собой метод доказательства корректности математических утверждений посредством математически строгих рассуждений. В отличие от традиционного тестирования, которое может лишь выявить ошибки в конкретных сценариях, формальная верификация стремится к абсолютному подтверждению истинности утверждения для всех возможных случаев. Этот процесс включает в себя формализацию утверждения в виде логической формулы и последующее доказательство её истинности с использованием дедуктивных правил и автоматизированных инструментов. Доказательство, полученное методом формальной верификации, гарантирует отсутствие ошибок в логике утверждения, при условии корректности используемых аксиом и правил вывода. \exists x (P(x) \implies Q(x)) — пример формализованного утверждения, которое может быть проверено таким методом.
Система формальной верификации Lean представляет собой мощный инструмент, основанный на зависимом типизировании и тактике доказательств. Она позволяет пользователям формально выражать математические утверждения и их доказательства в виде программ на языке программирования, что обеспечивает высокую степень автоматизации и проверки корректности. Lean использует ядро, основанное на интуиционистской логике типов, и предоставляет обширную математическую библиотеку, содержащую формализованные определения и теоремы из различных областей математики. Система способна обрабатывать сложные аргументы, включающие рекурсивные определения, индуктивные доказательства и сложные структуры данных, обеспечивая возможность верификации критически важных компонентов программного обеспечения и математических моделей. Возможность автоматической проверки доказательств и выявления ошибок позволяет значительно повысить надежность и безопасность разрабатываемых систем.
Формальная верификация, несмотря на значительные вычислительные затраты, эффективно дополняет исследовательский подход Aletheia, выступая в качестве критически важной проверки предложенных решений. В то время как Aletheia ориентирована на быстрое выявление потенциальных решений, формальная верификация, используя математическую строгость, обеспечивает абсолютную уверенность в их корректности. Этот комбинация позволяет находить решения оперативно и затем подтверждать их надежность, что особенно важно для критически важных систем, где ошибки недопустимы. Вычислительная сложность формальной верификации требует разумного применения, но она служит надежным механизмом для выявления ошибок, которые могли бы остаться незамеченными при других методах тестирования.
Геометрические Прозрения и Диофантовы Уравнения: Связь Невидимого
Многие нерешенные математические задачи, особенно связанные с диофантовыми уравнениями, обнаруживают глубокую связь с геометрией. Исторически сложилось так, что поиск целочисленных решений этих уравнений часто оказывается эквивалентным построению определенных геометрических объектов или исследованию их свойств. Например, задача о нахождении рациональных точек на эллиптических кривых тесно связана с геометрией этих кривых и их алгебраической структурой. Геометрическая интерпретация позволяет применять инструменты и методы из области геометрии и топологии для изучения и решения задач, которые изначально формулировались в алгебраических терминах. Этот подход не только расширяет арсенал доступных методов, но и способствует более глубокому пониманию структуры как алгебраических уравнений, так и соответствующих геометрических объектов, открывая новые пути для поиска решений и доказательства теорем.
Уравнение Пелля, исторически известное своими задачами о целых числах, обнаруживает неожиданную связь с геометрическим построением множеств точек, обладающих заданными свойствами расстояний. Исследования показывают, что решения уравнения Пелля могут быть использованы для определения координат точек в многомерном пространстве таким образом, чтобы минимизировать или максимизировать расстояние между ними. Этот подход тесно связан с понятием трансфинитной диаметра — мерой, характеризующей «разброс» точек в пространстве. В частности, конфигурации, порожденные решениями уравнения Пелля, позволяют исследовать пределы минимального числа точек, необходимых для определения хотя бы n различных расстояний в d-мерном пространстве, открывая новые перспективы в изучении геометрических свойств дискретных множеств.
Понимание логарифмической ёмкости играет ключевую роль в характеристике «распределённости» множеств точек и оценке потенциальных решений диофантовых уравнений. Проведённое исследование устанавливает предел для отношения g_d(n) / d^{n-1} равным 1/(n-1)! при n ≥ 2, что обеспечивает количественную границу для минимального числа точек, необходимых для определения хотя бы n различных расстояний в d-мерном пространстве. В частности, установлено, что g_d(1) = 2 при n = 1, что демонстрирует, что для определения единственного расстояния в любом d-мерном пространстве требуется минимум две точки. Этот результат имеет значительные последствия для понимания геометрических ограничений, накладываемых на решения диофантовых уравнений и для задач дискретной геометрии.
Исследование демонстрирует, что системы, даже столь сложные, как модели, решающие математические задачи, не строятся, а скорее вырастают из взаимодействия данных и алгоритмов. Подобно тому, как архитектор предвидит будущие трещины в монолите, создатели Aletheia сталкиваются с непредсказуемыми последствиями каждого архитектурного выбора. Ведь, как говорил Тим Бернерс-Ли: «Веб — это не продукт, а эволюция». И эта эволюция, как показывает работа, требует не только вычислительной мощи, но и постоянного человеческого надзора, ведь даже самые продвинутые системы нуждаются в направлении и осмыслении, чтобы избежать неверных интерпретаций и ложных выводов в решении задач, подобных проблеме о трансфинитных диаметрах.
Что дальше?
Представленная работа, подобно садовнику, лишь прикоснулась к ветвям математической лозы. Возможность использования больших языковых моделей для проверки и даже выдвижения гипотез — не открытие нового инструмента, а скорее взращивание сложной экосистемы. Каждая установленная зависимость от этих моделей — это обещание, данное прошлому, и каждое успешное доказательство лишь откладывает неминуемый момент, когда система начнет самовосстанавливаться, порождая новые, непредсказуемые ошибки.
Утверждения о «помощи» в математике звучат наивно. Контроль над такими системами — иллюзия, требующая соглашения об уровне обслуживания (SLA), ведь истинная сложность кроется не в алгоритмах, а в непредсказуемости самой математической реальности. Вопросы оригинальности остаются открытыми: является ли найденное решение истинным открытием, или лишь переформулировкой уже известных идей, замаскированной под новым языком?
Вместо стремления к автоматизации доказательств, стоит обратить внимание на исследование самих циклов ошибок и исправлений, присущих этим системам. В конечном счете, все, что построено, когда-нибудь начнет само себя чинить, и именно в этом процессе кроется потенциал для истинного прогресса. Задача не в том, чтобы заставить машину «думать» как математик, а в том, чтобы понять, как она «чувствует» математическую ткань, и какие новые разломы и трещины она способна выявить.
Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.22401.pdf
Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/
Смотрите также:
- Искусственный интеллект: расшифровка паттернов инноваций
- Точность симуляций: Как правильно оценить истинные значения в причинно-следственных исследованиях
- Искусственный исследователь: Новые горизонты автономных агентов
- Время видеть: как агенты раскрывают многомерное мышление в языковых моделях.
- Квантовые игры: поиск равновесия на нейтральных атомах
- Адаптация моделей к новым данным: квантильная коррекция для нейросетей
- Где «смотрят» большие языковые модели: новый взгляд на визуальное понимание
- Сердце музыки: открытые модели для создания композиций
- Ищем закономерности: Новый пакет TSQCA для R
- Нейросети на грани: как перевести ИИ в логику для умных устройств
2026-02-02 17:58