Квантовый алгоритм для сложных оптимизаций: новый подход

Автор: Денис Аветисян

Исследователи продемонстрировали, что улучшенная версия квантового алгоритма QAOA, использующая «Гровер-микшер», эффективно решает задачи оптимизации более высокого порядка.

В рамках исследования квантового приближенного оптимального алгоритма (QAOA) рассматриваются две реализации оператора смешивания: стандартный поперечный оператор (приводящий к XM-QAOA) и оператор типа Гровера (GM-QAOA), использующие стандартные обозначения для ворот Адамара, вращений вокруг оси Блоха, инвертирующей Паули-XX и многоуправляемой фазовой ворот.

В статье представлен аналитический метод предварительной оптимизации параметров квантовой схемы, снижающий требования к вычислительным ресурсам.

Несмотря на перспективность квантовых алгоритмов для решения сложных оптимизационных задач, эффективность стандартных подходов часто ограничена при работе с задачами высокой степени полиномиальности. В данной работе, посвященной исследованию алгоритма ‘Applying Grover-mixer Quantum Alternating Ansatz Algorithm to Higher-order Quadratic Unconstrained Optimization Problems’, показано, что использование смесителя Гровера в алгоритме QAOA позволяет добиться монотонного улучшения производительности и превзойти традиционные методы при решении задач высшего порядка. Предложенный аналитический подход к оптимизации параметров схемы позволяет значительно снизить вычислительные затраты, практически приближаясь к результатам полностью оптимизированного алгоритма. Может ли этот подход стать ключевым шагом к реализации эффективных квантовых оптимизаторов на современных квантовых устройствах?

В поисках гармонии: обещание квантовой оптимизации

Комбинаторные задачи оптимизации встречаются повсеместно — от логистики и финансов до машинного обучения и разработки новых материалов. Суть этих задач заключается в поиске наилучшего решения из огромного числа возможных вариантов, однако с ростом масштаба проблемы сложность вычислений растет экспоненциально. Классические алгоритмы, несмотря на значительные успехи, часто оказываются неспособны эффективно справляться с такими задачами в разумные сроки, что приводит к значительным вычислительным затратам и ограничению возможностей решения реальных задач. Например, задача коммивояжера или задача о рюкзаке, даже при относительно небольшом количестве элементов, могут потребовать колоссальных ресурсов для поиска оптимального решения. $O(n!)$ — пример экспоненциальной сложности, характерной для многих комбинаторных задач, где $n$ — количество элементов.

Квантовые вычисления представляют собой перспективный подход к решению сложнейших задач комбинаторной оптимизации, которые часто оказываются непосильными для классических алгоритмов. В отличие от традиционных методов, основанных на битах, квантовые алгоритмы используют кубиты и принципы квантовой механики, такие как суперпозиция и запутанность, для одновременного исследования огромного количества возможных решений. Это позволяет, теоретически, значительно ускорить процесс поиска оптимального решения для задач, связанных, например, с логистикой, финансовым моделированием или разработкой новых материалов. Хотя практическая реализация квантовых алгоритмов сталкивается с техническими трудностями, потенциал для преодоления ограничений классических вычислений делает квантовую оптимизацию ключевым направлением современных исследований.

Несмотря на теоретические преимущества квантовых вычислений в решении задач комбинаторной оптимизации, практическая реализация этих преимуществ требует разработки устойчивых и масштабируемых квантовых алгоритмов, адаптированных для работы на доступных в настоящее время, так называемых, “шумных” квантовых устройствах. Современные квантовые компьютеры ограничены количеством кубитов и подвержены ошибкам, что требует инновационных подходов к разработке алгоритмов, способных эффективно функционировать в этих условиях. Исследования направлены на создание гибридных квантово-классических алгоритмов, в которых квантовые вычисления используются для решения подзадач, а классические компьютеры — для координации и обработки результатов. Успех в этой области предполагает не только создание новых алгоритмов, но и разработку методов снижения влияния ошибок и оптимизации использования ограниченных квантовых ресурсов, что позволит в будущем реализовать потенциал квантовых вычислений для решения сложных практических задач.

Результаты показывают, что для <span class="katex-eq" data-katex-display="false">D=3,4</span> алгоритм GM-QAOA превосходит XM-QAOA по вероятности достижения минимальной энергии <span class="katex-eq" data-katex-display="false">P(E_{min})</span> с уменьшением минимальной глубины схемы. — Результаты показывают, что для $D=3,4$ алгоритм GM-QAOA превосходит XM-QAOA по вероятности достижения минимальной энергии $P(E_{min})$ с уменьшением минимальной глубины схемы.

Вариационные алгоритмы: гармония квантового и классического

Вариационные квантовые алгоритмы (ВКА) представляют собой гибридный подход к вычислениям, объединяющий возможности квантовых и классических вычислительных систем для нахождения приближенных решений сложных задач. В рамках ВКА квантовый процессор используется для оценки целевой функции, зависящей от набора параметров, а классический компьютер выполняет оптимизацию этих параметров с целью минимизации или максимизации этой функции. Этот итеративный процесс, состоящий из квантовых вычислений и классической оптимизации, позволяет находить решения, которые могут быть недостижимы с использованием исключительно классических или квантовых методов. $H(\theta) = \sum_i c_i \sigma_i$ — типичное представление гамильтониана, оптимизируемого в рамках ВКА.

Алгоритм квантовой аппроксимации оптимизации (QAOA) является одним из наиболее известных алгоритмов вариационного квантового вычисления (VQC), предназначенным для решения задач комбинаторной оптимизации. В отличие от классических алгоритмов, QAOA использует квантовую механику для поиска приближенных решений сложных оптимизационных задач, таких как задача коммивояжера или задача о максимальном разрезе графа. Основной принцип QAOA заключается в построении параметризованной квантовой схемы, оптимизация параметров которой осуществляется итеративно с использованием классического оптимизатора для минимизации целевой функции, представляющей собой гамильтониан задачи. Это позволяет находить решения, которые могут быть недостижимы для классических алгоритмов в разумные сроки, особенно для больших экземпляров задач.

Алгоритм QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm) функционирует посредством итеративного чередования квантовых и классических вычислений. Квантовая часть представляет собой параметризованную квантовую схему, эволюция которой определяется набором углов управления. Классическая часть алгоритма оптимизирует эти параметры с целью минимизации ожидаемого значения $H_C$ , так называемого «cost Hamiltonian», который кодирует решаемую задачу комбинаторной оптимизации. Процесс включает в себя измерение состояния квантовой схемы, вычисление среднего значения $H_C$ и обновление параметров с использованием классического оптимизатора, такого как gradient descent. Данный цикл повторяется до достижения сходимости или выполнения заданного критерия остановки.

Сравнительный анализ GM-QAOA и XM-QAOA для задачи Max-Cut на случайных гиперграфах и модели спинового стекла (SK) демонстрирует, что GM-QAOA превосходит XM-QAOA по вероятности достижения основного состояния <span class="katex-eq" data-katex-display="false">P(E_{min})</span> с увеличением глубины схемы (количества слоев) для различных размеров системы <span class="katex-eq" data-katex-display="false">n \in \{6, 10, 14\}</span> и порядков взаимодействия <span class="katex-eq" data-katex-display="false">D=2</span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false">D=4</span>, при этом критическая точка, где GM-QAOA начинает превосходить XM-QAOA, обозначена красными звездами и рассчитана как среднее значение по 100 случайным экземплярам задачи. — Сравнительный анализ GM-QAOA и XM-QAOA для задачи Max-Cut на случайных гиперграфах и модели спинового стекла (SK) демонстрирует, что GM-QAOA превосходит XM-QAOA по вероятности достижения основного состояния $P(E_{min})$ с увеличением глубины схемы (количества слоев) для различных размеров системы $n \in \{6, 10, 14\}$ и порядков взаимодействия $D=2$ и $D=4$ , при этом критическая точка, где GM-QAOA начинает превосходить XM-QAOA, обозначена красными звездами и рассчитана как среднее значение по 100 случайным экземплярам задачи.

Усиление гармонии: алгоритм GM-QAOA и микшер Гровера

Традиционные реализации квантового приближенного алгоритма оптимизации (QAOA) часто используют поперечное-полевое смешивание (transverse-field mixing). Однако, данный подход может приводить к ограниченному исследованию пространства решений. Причина заключается в том, что поперечное поле смешивание преимущественно воздействует на локальные изменения в состоянии, затрудняя переход между отдаленными областями пространства решений. Это особенно заметно при решении задач с высокой сложностью и большим количеством локальных оптимумов, где алгоритм может застревать в субоптимальных решениях из-за недостаточной способности исследовать глобальную структуру пространства поиска. В результате, эффективность традиционного QAOA снижается при увеличении размера и сложности решаемой задачи.

Алгоритм GM-QAOA (Grover-Mixer Quantum Approximate Optimization Algorithm) представляет собой модификацию стандартного QAOA, в которой для улучшения глобального перемешивания по пространству решений используется микшер, вдохновленный алгоритмом Гровера. В отличие от традиционных поперечно-польных микшеров, микшер GM-QAOA использует оператор диффузии, аналогичный оператору усиления амплитуды в алгоритме Гровера. Это позволяет алгоритму более эффективно исследовать различные области пространства решений и потенциально избегать застревания в локальных оптимумах, что особенно важно для задач с высокой степенью связности и сложными энергетическими ландшафтами.

Алгоритм GM-QAOA использует оператор диффузии, заимствованный из алгоритма Гровера, для улучшения способности алгоритма преодолевать локальные оптимумы. В стандартных QAOA поперечно-поля смешиватели могут испытывать трудности с эффективным исследованием пространства решений, приводя к застреванию в локальных минимумах. Оператор диффузии Гровера, по сути, амплифицирует состояния, которые находятся далеко от текущего решения, увеличивая вероятность перехода к новым областям пространства поиска. Это достигается за счет инверсии амплитуд, что позволяет алгоритму эффективно «рассеиваться» и исследовать более широкую область возможных решений, повышая вероятность нахождения глобального оптимума.

Применение алгоритма GM-QAOA к задачам, моделируемым случайными гиперграфами и моделью Шеррингтона-Киркпатрика, продемонстрировало его превосходство над алгоритмом XM-QAOA. Экспериментальные результаты указывают на более эффективное исследование пространства решений и улучшенную способность избегать локальных оптимумов, особенно в случаях, когда присутствуют взаимодействия высокого порядка. Данное превосходство подтверждается сравнительным анализом производительности на задачах с возрастающей сложностью взаимодействия между переменными.

Изменение критической глубины, определяющей минимальную глубину схемы, при которой GM-QAOA превосходит XM-QAOA, и соответствующая вероятность успеха зависят от параметров задачи, о чем свидетельствуют стандартные отклонения, рассчитанные для 100 случайных экземпляров SK с HUBO порядка D=2.

Оптимизация гармонии: масштабирование GM-QAOA

Эффективная оптимизация параметров GM-QAOA является ключевым фактором для достижения прироста производительности, однако представляет собой значительную проблему в области квантовых вычислений. Сложность заключается в огромном пространстве параметров, которое необходимо исследовать для нахождения оптимальной конфигурации квантовой схемы. Традиционные методы оптимизации, такие как градиентный спуск, часто оказываются неэффективными из-за “шума” в квантовых измерениях и экспоненциального роста вычислительных затрат с увеличением числа кубитов. Поиск оптимальных параметров требует значительных вычислительных ресурсов и времени, что ограничивает масштабируемость алгоритма и его применимость к более сложным задачам. Разработка новых, эффективных стратегий оптимизации, способных справляться с этими трудностями, является критически важной для реализации потенциала GM-QAOA в решении реальных задач.

Поэтапная оптимизация, или оптимизация по слоям, представляет собой эффективный подход к обучению квантовых схем GM-QAOA, позволяющий значительно повысить эффективность процесса. Вместо одновременной настройки всех параметров схемы, данный метод предполагает последовательное уточнение каждого слоя квантовой цепи. Начиная с инициализации параметров первого слоя, алгоритм итеративно оптимизирует параметры каждого последующего слоя, используя результаты, полученные на предыдущих этапах. Такой подход позволяет избежать проблем, связанных с высокой размерностью пространства параметров и сложностью поиска глобального оптимума, что особенно важно при масштабировании квантовых систем. Благодаря поэтапной оптимизации, достигается более быстрая сходимость алгоритма и снижение вычислительных затрат, сохраняя при этом высокую производительность GM-QAOA.

Аналитическое оптимизация, основанная на теории экстремальных значений, представляет собой перспективный подход к снижению вычислительных затрат при настройке параметров GM-QAOA. Вместо полного перебора всех возможных комбинаций, этот метод использует статистические закономерности, присущие экстремальным значениям функции, для предсказания наиболее эффективных параметров. Теория экстремальных значений позволяет оценить вероятность возникновения наилучших решений, фокусируясь на небольшом подмножестве параметров, которые с наибольшей вероятностью приведут к оптимальному результату. Такой подход существенно сокращает время, необходимое для достижения производительности, сравнимой с полностью оптимизированным GM-QAOA, особенно при решении сложных задач, где полный перебор параметров становится непрактичным. Данный метод открывает возможности для масштабирования GM-QAOA и его применения к более крупным и сложным задачам оптимизации.

Стратегии фиксированных точек играют ключевую роль в обеспечении стабильности и масштабируемости квантовых систем, особенно при увеличении числа кубитов и сложности вычислений. В контексте алгоритма GM-QAOA, поддержание фиксированных точек в процессе оптимизации параметров позволяет избежать неустойчивости, вызванной небольшими флуктуациями, и гарантирует, что улучшения, достигнутые на определенных этапах, не будут потеряны при дальнейшем масштабировании. Применение таких стратегий позволяет создавать более надежные и предсказуемые квантовые схемы, способные эффективно решать сложные задачи даже при наличии шума и ошибок, что является критически важным для практического применения квантовых вычислений. Эффективное использование фиксированных точек обеспечивает возможность создания квантовых алгоритмов, устойчивых к изменениям в аппаратном обеспечении и способных адаптироваться к различным условиям работы.

Сравнение аналитически оптимизированных параметров <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \beta_k </span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> \gamma_k </span> в зависимости от индекса слоя <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> k </span> для GM-QAOA показывает, что предлагаемый вариант с постоянным углом (из Ref.[zhukov2025grover]) обеспечивает более стабильные результаты, усредненные по 100 случайным экземплярам SK с HUBO порядка D=2. — Сравнение аналитически оптимизированных параметров $\beta_k$ и $\gamma_k$ в зависимости от индекса слоя $k$ для GM-QAOA показывает, что предлагаемый вариант с постоянным углом (из Ref.[zhukov2025grover]) обеспечивает более стабильные результаты, усредненные по 100 случайным экземплярам SK с HUBO порядка D=2.

GM-QAOA: путь к практическому квантовому преимуществу

Алгоритм GM-QAOA, в сочетании с передовыми методами оптимизации, демонстрирует значительный потенциал для решения практических задач комбинаторной оптимизации. В основе подхода лежит возможность эффективного поиска оптимальных решений в сложных пространствах, что особенно важно для таких областей, как логистика, финансовое моделирование и машинное обучение. В отличие от классических алгоритмов, GM-QAOA использует принципы квантовой механики для ускорения процесса поиска, позволяя исследовать большее количество возможных решений за меньшее время. Благодаря сочетанию квантовых вычислений и классической оптимизации, данный метод позволяет находить приближенные решения для задач, которые являются неразрешимыми для современных компьютеров, открывая новые горизонты в решении сложных оптимизационных проблем.

В условиях текущей эпохи NISQ, когда квантовые компьютеры находятся на ранней стадии развития и подвержены шумам и ошибкам, разработка практических квантовых алгоритмов приобретает первостепенное значение. Алгоритм GM-QAOA, в частности, оказывается особенно актуальным, поскольку он разработан с учетом ограничений существующих квантовых устройств. Вместо того, чтобы требовать больших, полностью исправленных квантовых компьютеров, GM-QAOA стремится предложить решения, которые могут быть реализованы на относительно небольших и шумных системах, доступных сегодня. Это позволяет исследователям и разработчикам начать исследовать возможности квантовых вычислений для решения реальных задач, не дожидаясь появления более совершенного оборудования. Таким образом, GM-QAOA представляет собой важный шаг на пути к демонстрации практического преимущества квантовых вычислений в ближайшем будущем.

Дальнейшие исследования GM-QAOA направлены на масштабирование алгоритма для решения задач, значительно превосходящих текущие возможности. Ученые стремятся расширить применимость метода, изучая его эффективность в различных областях, включая логистику, финансовое моделирование и машинное обучение. Особое внимание уделяется адаптации GM-QAOA к задачам, характеризующимся сложной структурой и большим количеством переменных, что позволит продемонстрировать его потенциал в решении реальных промышленных задач. Ожидается, что такие исследования позволят выявить оптимальные стратегии для повышения производительности алгоритма и расширения спектра решаемых им проблем, приближая эру практического квантового превосходства.

Алгоритм GM-QAOA представляет собой важный шаг на пути к раскрытию всего потенциала квантовых вычислений, преодолевая разрыв между теоретическими возможностями и практическими реализациями. В то время как многие квантовые алгоритмы остаются в сфере академических исследований, GM-QAOA демонстрирует перспективу решения реальных задач комбинаторной оптимизации, актуальных для различных отраслей. Благодаря сочетанию гибкой архитектуры и возможности адаптации к ограничениям текущей эпохи NISQ, этот подход способен обеспечить ощутимый прогресс в разработке практических квантовых приложений. Дальнейшее совершенствование и расширение возможностей GM-QAOA, несомненно, внесут значительный вклад в приближение эры, когда квантовые компьютеры смогут эффективно решать сложные задачи, недоступные для классических систем.

Вероятность достижения минимальной энергии <span class="katex-eq" data-katex-display="false">P(E_{min})</span> растёт с увеличением числа слоёв для всех методов - оптимизированного по слоям GM-QAOA, XM-QAOA, а также двух аналитических подходов с оптимизацией параметров [GM-QAOA(a)] и без неё [GM-QAOA(c)] - в зависимости от размера задачи <span class="katex-eq" data-katex-display="false">n</span> и порядка HUBO <span class="katex-eq" data-katex-display="false">D</span>. — Вероятность достижения минимальной энергии $P(E_{min})$ растёт с увеличением числа слоёв для всех методов — оптимизированного по слоям GM-QAOA, XM-QAOA, а также двух аналитических подходов с оптимизацией параметров [GM-QAOA(a)] и без неё [GM-QAOA(c)] — в зависимости от размера задачи $n$ и порядка HUBO $D$ .

Исследование демонстрирует, что алгоритм QAOA с использованием Grover mixer превосходит стандартный QAOA в решении задач оптимизации высшего порядка. Этот подход, акцентирующий внимание на повышении эффективности квантовых вычислений, перекликается с фундаментальным пониманием времени и систем. Как однажды заметил Пол Дирак: «Я не вижу никакой причины, по которой время должно быть чем-то особенным». Действительно, алгоритм GM-QAOA не стремится бороться со временем, а скорее использует его характеристики для оптимизации процесса поиска решения, подобно тому, как система, признавая неизбежность старения, стремится к достойному существованию. Предоптимизация параметров схемы, описанная в работе, — это попытка структурировать систему таким образом, чтобы она максимально эффективно функционировала в рамках заданных временных ограничений, осознавая, что стабильность может быть лишь временной задержкой перед неизбежными изменениями.

Что дальше?

Представленная работа, демонстрируя превосходство GM-QAOA над стандартными подходами к решению задач оптимизации высших порядков, лишь подчеркивает временную природу любого алгоритма. Каждый найденный баг — это, по сути, момент истины на кривой его старения, а технический долг — закладка прошлого, оплачиваемая настоящим. Неизбежно, возникнут задачи, в которых даже этот, казалось бы, более эффективный подход, окажется несостоятельным, обнажая новые грани сложности.

Основное ограничение, как и для большинства вариационных квантовых алгоритмов, — зависимость от ручной оптимизации параметров. Аналитический метод, предложенный в данной работе, — лишь временное облегчение, попытка отсрочить неизбежное. Будущие исследования, вероятно, будут направлены на разработку самообучающихся систем, способных адаптироваться к меняющимся условиям и самостоятельно находить оптимальные конфигурации. Вопрос, однако, в том, насколько эти системы будут способны к действительно новому, а не просто к воспроизведению известных паттернов.

На горизонте маячит неизбежная необходимость преодоления ограничений, связанных с энтротангельментом и когерентностью. Поиск методов масштабирования, не требующих экспоненциального увеличения ресурсов, — задача, чье решение определит, станет ли квантовая оптимизация действительно полезным инструментом, или же останется элегантной, но непрактичной абстракцией. Время рассудит, какой путь окажется верным.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.23026.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-30 12:39

🚀 Квантовые новости