Математика на пределе: как обучить ИИ решать сложные задачи

Автор: Денис Аветисян

Новая методика позволяет значительно повысить способность больших языковых моделей к математическому рассуждению, используя адаптивное обучение и перефразировку вопросов.

В ходе обучения на бенчмарке MATH500, алгоритм DGPO демонстрирует динамику, отличную от GRPO, оба из которых используют в качестве основы языковую модель Qwen2.5-Math-7B, что указывает на потенциальные различия в эффективности оптимизации для решения математических задач.

Представлен MathForge — фреймворк, объединяющий обучение с учетом сложности и стратегическую переформулировку вопросов для улучшения математических способностей больших языковых моделей.

Несмотря на успехи обучения больших языковых моделей решению математических задач, существующие методы часто недооценивают важность более сложных примеров. В работе «Harder Is Better: Boosting Mathematical Reasoning via Difficulty-Aware GRPO and Multi-Aspect Question Reformulation» представлена MathForge — новая платформа, направленная на усиление математических способностей моделей путем целенаправленной работы со сложными задачами. Предложенный подход комбинирует алгоритм, учитывающий уровень сложности при обучении с подкреплением, и стратегию перефразировки вопросов для увеличения их трудности, создавая синергетический цикл улучшения. Сможет ли MathForge открыть новые горизонты в автоматизированном решении сложных математических задач и повысить надежность больших языковых моделей в этой области?

За гранью простоты: вызовы математического мышления

Несмотря на значительный прогресс в области больших языковых моделей (БЯМ), сложная математическая аргументация продолжает оставаться серьезной проблемой, обусловленной ограничениями последовательной обработки информации. БЯМ, как правило, демонстрируют трудности при решении задач, требующих многоступенчатого логического вывода, поскольку их архитектура склонна к ошибкам при обработке длинных цепочек рассуждений. В отличие от человеческого мышления, способного к параллельной оценке различных подходов, БЯМ вынуждены последовательно анализировать каждый шаг, что увеличивает вероятность накопления ошибок и снижает точность решения по мере усложнения задачи. Это особенно заметно в задачах, требующих не только знания математических формул $E=mc^2$ , но и умения применять их в нестандартных ситуациях, требующих творческого подхода и гибкости мышления.

Существующие методы решения математических задач зачастую демонстрируют ограниченную эффективность при решении многоступенчатых задач, где требуется последовательное применение логических выводов. По мере усложнения задачи, точность решений неуклонно снижается, что связано с трудностями в поддержании корректности каждого шага вычислений. Особенно остро эта проблема проявляется в задачах, требующих не просто арифметических операций, а глубокого понимания математических принципов и способности к абстрактному мышлению. Например, решение сложных геометрических задач или доказательство теорем требует не только знания формул $a^2 + b^2 = c^2$ , но и умения применять их в различных контекстах, что представляет значительную сложность для современных алгоритмов.

Существенная сложность решения математических задач заключается в необходимости разработки надежных методов генерации и оценки множества возможных путей решения. В отличие от задач, требующих однозначного ответа, математические проблемы часто допускают различные подходы, и эффективное исследование этих альтернатив критически важно для достижения верного результата. Современные большие языковые модели (LLM) демонстрируют хрупкость в этой области: даже незначительное отклонение от типичных шаблонов может привести к ошибкам, поскольку модели испытывают трудности с адаптацией к непредсказуемым или нестандартным ситуациям. Способность генерировать не только правильные, но и разнообразные решения, а затем критически оценивать их, остается серьезным вызовом для LLM, ограничивающим их возможности в решении сложных математических задач, особенно когда требуется многоступенчатый логический вывод и анализ.

Обучение MQR демонстрирует более стабильную динамику сходимости как на тренировочных, так и на оценочных данных MATH и MATH500 при использовании Qwen2.5-Math-7B, в отличие от оригинальной модели.

MathForge: усложнение ради прогресса

MathForge представляет собой новый подход к улучшению математического рассуждения, основанный на стратегическом увеличении сложности задач, используемых в процессе обучения моделей. Вместо традиционного увеличения объема данных, MathForge фокусируется на повышении когнитивной нагрузки на модель за счет создания более сложных вариантов существующих задач. Этот подход позволяет добиться улучшения обобщающей способности и устойчивости моделей к различным типам математических задач, не требуя при этом экспоненциального роста обучающей выборки. Ключевым принципом является не просто усложнение формулировки, а изменение структуры задачи таким образом, чтобы требовалось более глубокое понимание математических принципов для ее решения.

Многоаспектная переформулировка вопросов (MQR) представляет собой метод интеллектуальной модификации исходных задач с целью повышения требований к логическому выводу модели. В отличие от простой синонимизации или перефразирования, MQR изменяет различные аспекты вопроса, такие как разбиение на подзадачи, изменение контекста или переформулировку терминов, сохраняя при этом семантическую эквивалентность. Это достигается за счет алгоритмического анализа структуры задачи и генерации новых вариантов, требующих более глубокого понимания и применения математических принципов для получения корректного ответа. Данный подход направлен на стимулирование модели к более сложному и осознанному решению, а не просто к запоминанию шаблонов.

Метод многоаспектной переформулировки вопросов (MQR) использует несколько стратегий для повышения сложности решаемых задач и проверки способности моделей к глубокому логическому мышлению. К ним относятся переформулировка подзадач, изменение контекста (фоновых знаний, необходимых для решения) и переформулировка терминов, используемых в задаче. Важно отметить, что при применении этих стратегий поддерживается высокий уровень эквивалентности — от 97% до 99% — что подтверждает высокое качество генерируемых переформулировок и сохранение исходного смысла задачи. Это гарантирует, что модель оценивается по ее способности к рассуждению, а не по простому распознаванию шаблонов.

Основная цель разработки MathForge — создание более устойчивых и адаптируемых моделей, способных эффективно решать сложные математические задачи. Архитектура фреймворка ориентирована на повышение способности моделей к обобщению и переносу знаний на новые, незнакомые условия. Это достигается за счет не просто увеличения объема обучающих данных, а повышения сложности и разнообразия самих задач, требующих более глубокого анализа и применения различных стратегий решения. В результате, модели, обученные с использованием MathForge, демонстрируют улучшенную производительность в ситуациях, требующих сложного логического вывода и адаптации к изменяющимся условиям задачи.

Приоритет сложности: алгоритмы эффективного обучения

Алгоритм Difficulty-Aware Group Policy Optimization (DGPO) является ключевым компонентом MathForge и предназначен для коррекции дисбаланса в процессе обучения путем приоритизации более сложных задач. DGPO динамически корректирует политику обучения, увеличивая вероятность выбора и тренировки вопросов, которые модель решает с большей трудностью. Это достигается за счет оценки сложности каждого вопроса и последующего взвешивания его в процессе формирования обучающих пакетов. В результате модель фокусируется на примерах, требующих больше вычислительных ресурсов и анализа, что способствует более эффективному усвоению сложных концепций и улучшению общей производительности.

Алгоритм DGPO дополняется взвешиванием на уровне отдельных вопросов с учетом их сложности (DQW), что позволяет еще больше акцентировать внимание на сложных примерах. DQW динамически корректирует вклад каждого вопроса в функцию потерь, увеличивая вес более трудных вопросов и уменьшая вес простых. Это достигается путем оценки сложности каждого вопроса на основе исторических данных об успеваемости модели, что позволяет системе более эффективно использовать ресурсы для обучения на примерах, представляющих наибольшую сложность для текущей версии модели. Использование DQW в сочетании с DGPO позволяет добиться более точной и целенаправленной оптимизации, фокусируясь на тех вопросах, которые требуют наибольшего внимания для улучшения общей производительности.

Алгоритм Difficulty-Balanced Group Advantage Estimation (DGAE) нормализует оценки преимуществ (advantages) в процессе обучения, что обеспечивает стабильность и эффективность тренировки. Нормализация достигается путем масштабирования оценок преимуществ в каждой группе вопросов, учитывая сложность этих вопросов. Это предотвращает доминирование оценок от простых вопросов, которые могут исказить направление обучения, и позволяет модели более эффективно извлекать уроки из сложных примеров. Стабилизация процесса обучения достигается за счет уменьшения дисперсии оценок преимуществ, что, в свою очередь, способствует более быстрому и надежному сходимости алгоритма обучения.

Алгоритмы MathForge, включая DGPO, DQW и DGAE, функционируют совместно для создания целевого режима обучения, ориентированного на максимизацию извлечения знаний из наиболее сложных задач. Такой подход позволяет эффективно использовать вычислительные ресурсы, концентрируясь на примерах, которые требуют больше усилий для решения. В результате применения данной методологии на наборе данных GEOQA-8k зафиксировано улучшение производительности на 2.52% по сравнению с базовым алгоритмом GRPO, что демонстрирует эффективность предложенной стратегии обучения.

Обучение с подкреплением для надежного рассуждения

В рамках платформы MathForge разработан подход к обучению языковых моделей, основанный на обучении с подкреплением с проверяемыми наградами (RLVR). Этот метод представляет собой надежный способ тренировки, поскольку он не ограничивается простой оценкой правильности ответа, а требует от модели предоставления обоснования своих решений. RLVR позволяет значительно повысить устойчивость и надежность системы математического рассуждения, обеспечивая не только получение верного результата, но и демонстрацию логической цепочки, приведшей к нему. Такой подход особенно важен для задач, где понимание процесса решения не менее важно, чем сам ответ, например, в сложных математических вычислениях или доказательствах теорем, где $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ необходимо продемонстрировать не только результат, но и логику его получения.

В рамках обучения с подкреплением, система RLVR использует передовые методы, такие как Group Sequence Policy Optimization (GSPO) и Direct Preference Optimization (DAPO), для тонкой настройки поведения языковой модели. GSPO позволяет оптимизировать политику действий модели, рассматривая последовательности решений как единое целое, что способствует более когерентным и логичным выводам. В свою очередь, DAPO напрямую использует предпочтения, полученные от экспертов или других моделей, для корректировки стратегии обучения. Этот подход позволяет модели не только находить правильные ответы, но и формировать более предпочтительные и обоснованные цепочки рассуждений, что значительно повышает надежность и устойчивость системы к различным задачам математического типа.

В рамках данной системы обучения с подкреплением особое внимание уделяется не просто получению правильного ответа, а и подтверждению его обоснованности. Модель не только решает математические задачи, но и формирует цепочку логических шагов, которые могут быть проверены на корректность. Этот подход, основанный на использовании «верифицируемых наград», позволяет системе выявлять и корректировать ошибки не только в конечном результате, но и в процессе рассуждений. Такая методика гарантирует, что модель действительно понимает логику решения, а не просто запоминает шаблоны, что существенно повышает надежность и устойчивость системы к новым, ранее не встречавшимся задачам, и обеспечивает возможность отслеживания и интерпретации процесса принятия решений.

Сочетание разработанных методов обучения с подкреплением позволило создать систему математического рассуждения, демонстрирующую повышенную надежность и устойчивость. В ходе тестирования на общедоступном наборе данных MATH500 система достигла точности в 42.17%, что свидетельствует о значительном прогрессе в решении сложных математических задач. Данный результат превосходит показатели базового алгоритма GRPO на 3.43% при использовании набора данных MATH, подтверждая эффективность предложенного подхода и его потенциал для дальнейшего развития в области автоматизированного доказательства теорем и решения математических проблем. Указанный прирост точности является важным шагом к созданию более интеллектуальных и надежных систем искусственного интеллекта, способных к глубокому математическому анализу.

Исследование показывает, что даже самые продвинутые языковые модели нуждаются в тонкой настройке, чтобы решать математические задачи. MathForge, предлагаемый в статье подход, пытается обмануть систему, заставляя её учиться на более сложных примерах. Впрочем, это лишь иллюзия прогресса. Как говорил Анри Пуанкаре: «Математика не учит нас тому, как мыслить, но учит нас тому, как мыслить строго». Эта строгость и является главным недостатком современных моделей, которые больше полагаются на статистические закономерности, чем на истинное понимание. Иными словами, система стабильно падает, решая сложные задачи, но хотя бы последовательна в своей неспособности к абстрактному мышлению. Всё это напоминает попытки оптимизировать алгоритм, не понимая сути решаемой задачи — лишь усложняем и удорожаем процесс.

Что дальше?

Представленный MathForge, несомненно, добавляет ещё один уровень сложности в и без того запутанную область обучения больших языковых моделей математическому рассуждению. Однако, стоит признать, что повышение сложности само по себе не гарантирует реального прогресса. Улучшение метрик на синтетических данных — это лишь временная передышка, прежде чем производственная среда напомнит о своей непредсказуемости. Вполне вероятно, что кажущиеся улучшения в решении задач сегодня обернутся новыми, более изощренными способами ошибок завтра.

Основной вопрос, который остаётся без ответа, — это вопрос масштабируемости. Усложнение стратегий обучения, включая переформулировку вопросов и обучение с учетом сложности, неизбежно приводит к увеличению вычислительных затрат. В какой-то момент эта сложность станет непомерной, и мы вновь столкнемся с необходимостью поиска более элегантных, но, возможно, менее «точных» решений. Нам не нужно больше алгоритмов — нам нужно меньше иллюзий относительно их всемогущества.

В перспективе, вероятно, потребуется переосмысление самой концепции «математического рассуждения» для языковых моделей. Вместо попыток «научить» их решать задачи, возможно, стоит сосредоточиться на создании систем, способных эффективно находить и использовать существующие знания. Каждая «революционная» архитектура в конечном итоге станет техдолгом, и рано или поздно придётся признать, что костыли с новым логотипом — это всё, чем она и является.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.20614.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-29 14:41

🚀 Квантовые новости