Пространства жизни: математика биологических процессов

Автор: Денис Аветисян

В статье представлена новая математическая база для моделирования биологических систем, позволяющая глубже понять их устойчивость и адаптивность.

Разработка контекстно-зависимых, локально выпуклых пространств для описания биологических состояний и необратимой динамики.

В то время как физика располагает хорошо разработанным математическим аппаратом для описания динамических систем, биология испытывает недостаток в едином, адекватном представлении пространства состояний, учитывающем контекстную зависимость и необратимость процессов. В работе ‘Towards mathematical spaces for biological processes’ предложен новый математический формализм, использующий локально выпуклые пространства, индексированные контекстом, для моделирования биологических систем. Такой подход позволяет формализовать понятия частичной наблюдаемости, биологических ограничений и необратимости динамики, открывая путь к количественному анализу стабильности и устойчивости биологических процессов. Сможет ли предложенный формализм стать основой для структурно обоснованного и количественного анализа сложных биологических систем в различных контекстах?

Отказ от Статичности: Динамика Биологической Реальности

Традиционные биологические модели часто исходят из предположения о равновесии, рассматривая клеточные процессы как статические состояния. Однако, реальные биологические системы демонстрируют фундаментальную необратимость — процессы происходят в определенном направлении и не могут просто вернуться в исходное состояние. Это связано с тем, что клеточные реакции, такие как синтез белков или метаболизм, являются динамичными и зависят от последовательных изменений, в которых каждый шаг вносит вклад в последующий. Игнорирование этой необратимости приводит к упрощенным моделям, не способным адекватно описать сложное поведение живых организмов и их адаптацию к меняющимся условиям окружающей среды. Более точное представление требует учета направленности процессов и влияния внешних факторов, что позволяет создать модели, отражающие истинную динамику биологической реальности.

Биологические системы не существуют в статичных состояниях, а постоянно претерпевают изменения, переходя от одного этапа к другому. Эти переходы не случайны, а обусловлены как внутренней динамикой организма, так и влиянием окружающей среды. Клеточные процессы, такие как рост, дифференцировка или ответ на внешние сигналы, представляют собой последовательность переходов, каждый из которых зависит от предыдущего и формирует уникальную «историю» клетки. Именно эта история, в сочетании с текущими условиями, определяет дальнейшую судьбу и поведение биологической системы. Понимание этих динамических переходов, а не просто фиксация текущего состояния, является ключом к более глубокому пониманию жизни.

Для адекватного описания биологических процессов необходимо отказаться от статических моделей и перейти к рассмотрению систем как динамических сущностей, находящихся в непрерывном переходе между состояниями. Ключевым является учет не только текущего состояния клетки или организма, но и направленности этих переходов, обусловленной предшествующей историей и текущим окружением. Влияние окружающей среды, включая химические сигналы, физические факторы и взаимодействия с другими организмами, определяет вероятности различных переходов и, следовательно, траекторию развития системы. Такой подход требует разработки новых математических и вычислительных инструментов, способных моделировать не просто существование состояний, но и процессы, приводящие к их смене, и учитывать, что даже незначительные начальные условия могут приводить к значительным различиям в конечном результате, подчеркивая важность контекста в формировании биологической реальности.

Пространство Возможностей: Математическая Основа Биологических Состояний

Концепция «Биологического пространства состояний» представляет собой всеобъемлющий подход к представлению всех возможных состояний, которые может занимать биологическая система. Это пространство, в математическом смысле, является множеством всех потенциальных конфигураций системы, определяемых набором релевантных параметров и переменных. Каждое состояние в этом пространстве представляет собой конкретную комбинацию значений этих параметров. Использование пространства состояний позволяет формально описывать динамику системы, её эволюцию во времени и переходы между различными состояниями, что особенно важно для моделирования сложных биологических процессов и анализа данных, полученных в экспериментах.

Пространство биологических состояний формально определяется как локально выпуклое пространство, что позволяет проводить детальное сравнение состояний с использованием полунорм. В отличие от обычных норм, полунорма позволяет оценивать «расстояние» между состояниями, не требуя, чтобы нулевой вектор был единственным элементом с нулевым «расстоянием». Это особенно важно при анализе биологических систем, где состояния могут быть эквивалентны в определенных аспектах, но различны в других. Использование полунорм $p(x) \geq 0$ , удовлетворяющих условию $p(\lambda x) = |\lambda| p(x)$ для скаляра λ и вектора $x$ , позволяет построить метрику, учитывающую специфические характеристики каждого состояния и обеспечивающую более точную классификацию.

В рамках данной модели, понятие “пространства биологических состояний” учитывает зависимость близости состояний от контекста, то есть сходство между клетками не является абсолютным, а определяется внешними факторами. Этот подход позволяет зафиксировать скорость переклассификации клеток, достигающую ≥ 25% при терапии ингибиторами тирозинкиназы эпидермального фактора роста (EGFR-TKI). Данный показатель демонстрирует чувствительность модели к изменениям контекста, поскольку переклассификация отражает изменение фенотипа клеток в ответ на воздействие препарата и изменение окружающей среды. Использование контекстно-зависимой близости позволяет более точно отражать динамику клеточных популяций и предсказывать их поведение в различных условиях.

Траектории и Стабильность: Анализ Динамики Систем

Поведение клеток наиболее эффективно анализируется посредством изучения их ‘Траекторий’ — упорядоченных во времени последовательностей состояний в рамках Биологического Пространства Состояний. Данный подход предполагает рассмотрение клеточных изменений не как мгновенных переходов, а как динамического процесса, разворачивающегося во времени и определяемого текущим состоянием клетки и воздействующими факторами. Каждая ‘Траектория’ представляет собой путь в многомерном пространстве, где каждая ось соответствует определенному параметру, характеризующему состояние клетки (например, уровень экспрессии гена, концентрация белка или морфологические характеристики). Анализ этих траекторий позволяет выявить закономерности в клеточном поведении, предсказать будущие состояния и понять механизмы, лежащие в основе клеточных процессов.

Стабильность в контексте анализа динамики систем рассматривается не как достижение конкретной фиксированной точки в фазовом пространстве, а как тенденция системы оставаться внутри заданного “Допустимого Множества” состояний. Это означает, что система может колебаться и изменяться во времени, но при этом не покидает определенные границы, определяющие ее функциональное или жизнеспособное состояние. Критерий стабильности определяется не точным состоянием равновесия, а вероятностью удержания системы в пределах этих границ при небольших возмущениях или изменениях внешних условий. Таким образом, понятие “Допустимого Множества” позволяет описывать устойчивость систем, демонстрирующих динамичное, но ограниченное поведение, в отличие от классического подхода, ориентированного на поиск стационарных точек.

Критерий “включения в окрестность” (Neighborhood Inclusion) определяет стабильность системы, основываясь на близости состояний к заданному множеству, формирующему окрестность. Наблюдения показывают, что стабилизация, определяемая данным критерием, происходит в течение 24-48 часов и предшествует конвергенции транскриптомных данных. Метод “слабой сходимости” (Weak Convergence) позволяет анализировать долгосрочные тенденции в динамике состояний системы, выявляя приближение к стабильным траекториям даже при отсутствии точного достижения фиксированной точки. Оба метода позволяют оценить стабильность системы на различных временных масштабах, акцентируя внимание на динамике состояний, а не на достижении конкретного состояния.

Дегенерация и Наблюдение: Сложность и Ограничения Моделирования

Биологические системы часто демонстрируют явление, известное как «дегенерация», когда различные внутренние состояния организма могут приводить к одному и тому же наблюдаемому результату. Это означает, что один и тот же фенотип — например, устойчивость к определенному стрессу или конкретный уровень экспрессии гена — может быть реализован множеством различных молекулярных механизмов и состояний внутри клетки или организма. Такая избыточность не является недостатком, а скорее адаптивной стратегией, обеспечивающей устойчивость системы к возмущениям и позволяющей ей функционировать даже при повреждении или изменении отдельных компонентов. Дегенерация позволяет биологическим системам сохранять функциональность, несмотря на внутреннюю изменчивость и шум, что имеет ключевое значение для выживания и адаптации.

Биологические системы характеризуются сложностью, отражающейся в их абстрактном «пространстве состояний». Однако, для изучения этих состояний необходимо установить связь с реально измеримыми величинами — этот процесс формирует так называемую “карту наблюдений”. Важно понимать, что любое измерение, каким бы точным оно ни было, неизбежно приводит к потере информации о полном спектре биологических состояний. Перевод из абстрактного пространства состояний в конкретные данные наблюдения всегда является упрощением, поскольку множество различных внутренних состояний могут проявляться в виде одного и того же наблюдаемого результата. По сути, «карта наблюдений» является своего рода фильтром, сквозь который мы воспринимаем биологическую реальность, и осознание этого ограничения критически важно для корректной интерпретации экспериментальных данных и избежания излишних обобщений.

Исследования демонстрируют, что при анализе биологических систем важно учитывать неизбежные ограничения, связанные с процессом наблюдения. Выявлено, что степень вырождения — то есть, количество различных внутренних состояний, приводящих к одному и тому же наблюдаемому результату — увеличивается в 2-3 раза при использовании упрощенных методов регистрации данных, например, когда оценивается только выживаемость. В отличие от этого, более детальный анализ, включающий измерение множества маркеров, позволяет получить более полное представление о внутреннем состоянии системы и снизить эффект вырождения. Это подчеркивает, что гранулярность наблюдения напрямую влияет на интерпретацию экспериментальных данных и требует осторожности при упрощении сложных биологических процессов, чтобы избежать излишней генерализации и неверных выводов.

От Теории к Данным: Применение и Перспективы

Концепция “Волокнистого Расслоения” расширяет существующую теоретическую базу, обеспечивая формальную связь между пространством контекста и пространством состояний. Данный подход позволяет рассматривать клеточные состояния не как изолированные точки, а как сечения в многомерном пространстве, где каждая точка соответствует определенному контексту. Формализация этой связи открывает возможности для более точного моделирования клеточной динамики и предсказания реакций на внешние воздействия. В частности, “Волокнистое Расслоение” позволяет учитывать влияние микроокружения и других внешних факторов на стабильность и адаптацию клеток, что особенно важно при изучении гетерогенных популяций и развития лекарственной устойчивости. Такая интеграция контекста и состояния позволяет перейти от описательного анализа к более прогностическим моделям, способным предсказывать эволюцию клеточных популяций в различных условиях.

Данные, полученные в результате анализа отдельных клеток, в частности, полученные на модельной линии PC9, представляющей собой клетки немелкоклеточного рака легкого с мутацией EGFR, служат ценным источником информации для проверки и подтверждения теоретических моделей. Исследование клеточных популяций позволяет оценить соответствие предсказаний моделей наблюдаемым биологическим явлениям, таким как вариативность клеточных состояний и реакции на внешние воздействия. Использование данных о единичных клетках дает возможность более детально изучить гетерогенность опухолевых популяций и выявить факторы, определяющие устойчивость к терапии, что крайне важно для разработки новых, более эффективных методов лечения рака легкого.

Исследование выявило, что быстрое достижение стабильного состояния, или “ранняя стабилизация”, может служить индикатором устойчивости и способности к адаптации клеточных систем. В частности, анализ данных, полученных на клеточной линии PC9, демонстрирует крайне низкую долю толерантных “соседств” — около 0,3%, что соответствует ранее опубликованным данным о частоте устойчивых к лекарствам персистирующих клеток (Drug-Tolerant Persister, DTP) в данной модели рака легких. При этом, отмечается уровень артефактов компрессии в пределах 5-10%, что указывает на необходимость тщательной проверки данных и коррекции возможных искажений при анализе стабильности клеточных состояний. Наблюдаемая скорость достижения стабильности и соответствие частоты толерантных клеток опубликованным данным подтверждают валидность предложенного подхода к изучению клеточной устойчивости и адаптации.

Исследование, представленное в статье, демонстрирует, что попытки построить универсальные математические модели для биологических систем зачастую оказываются неэффективными. Авторы предлагают отойти от жестких, предопределенных структур и обратиться к более гибким, локально-выпуклым пространствам, адаптирующимся к конкретному контексту. Это согласуется с идеей о том, что порядок не нуждается в архитекторе, а возникает из локальных правил. Как заметил Карл Поппер: «Неограниченная свобода — это миф; свобода всегда ограничена, но эти ограничения — стимул для изобретательности». В данном случае, контекстная зависимость пространства, в котором моделируется биологический процесс, является не ограничением, а именно тем стимулом, который позволяет учесть сложность и динамичность живых систем, предлагая более реалистичный подход к пониманию их устойчивости и эквивалентности.

Куда Ведет Этот Путь?

Предложенный подход, опираясь на концепцию контекстно-зависимых локально выпуклых пространств, не столько решает существующие проблемы в математическом моделировании биологических систем, сколько смещает акцент. Устойчивость и робастность оказываются не свойствами, навязанными извне, а эмерджентными характеристиками, возникающими из локальных взаимодействий в рамках заданного пространства состояний. Не стоит ожидать всеобъемлющей модели, описывающей “жизнь как таковую” — скорее, это инструмент для изучения того, как малые изменения в локальных правилах резонируют по сети, порождая масштабные эффекты.

Ключевой вопрос, требующий дальнейшей разработки, — это разработка адекватных “наблюдаемых отображений” — способов проецирования абстрактных состояний в измеримые параметры. Неизбежная неполнота этих отображений требует от исследователей смирения и осознания, что любая модель — это лишь приближение, улавливающее лишь часть реальности. Ирреверсивность динамики, подчеркнутая в данной работе, не является ограничением, а скорее, отражает фундаментальную асимметрию времени, присущую биологическим процессам.

В конечном итоге, ценность предложенного подхода заключается не в создании “идеальной” модели, а в смене парадигмы. Контроль — иллюзия, влияние — реальность. Каждое локальное изменение в математической структуре пространства состояний потенциально способно изменить общую картину, открывая новые горизонты для понимания сложности и адаптивности живых систем.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2601.15854.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-23 20:38

🚀 Квантовые новости