Поиск формул науки: новый взгляд на символьную регрессию

Автор: Денис Аветисян

В статье представлен обзор перспективного метода автоматического обнаружения математических выражений, описывающих физические законы и процессы.

Обзор применения символьной регрессии для автоматического открытия уравнений, создания эмпирических моделей и разработки эффективных эмуляторов в физических науках.

Несмотря на успехи традиционных методов моделирования, автоматическое обнаружение фундаментальных закономерностей в данных остается сложной задачей. Настоящая работа, ‘Introduction to Symbolic Regression in the Physical Sciences’, посвящена быстро развивающемуся направлению символической регрессии — мощному инструменту для выявления интерпретируемых математических соотношений и создания компактных эмуляторов сложных систем. Обзор охватывает основы метода, его применение в физических науках для вывода эффективных теорий и эмпирических моделей, а также современные вызовы и перспективы развития. Сможет ли символическая регрессия стать ключевым элементом автоматизированного научного открытия и ускорить прогресс в различных областях физики?

Раскрывая границы традиционной регрессии

Традиционные методы регрессии зачастую оказываются неэффективными при анализе сложных, нелинейных зависимостей. Для их применения требуется значительное количество предварительной обработки данных и конструирования признаков, известного как feature engineering. Этот процесс требует глубоких знаний предметной области и может быть весьма трудоемким, поскольку предполагает ручной отбор и преобразование переменных, которые, как предполагается, наиболее сильно влияют на целевую функцию. Например, при моделировании динамики физической системы, необходимо не только собрать данные, но и вручную определить, какие комбинации параметров и начальных условий наиболее важны для предсказания будущего состояния. В результате, даже при наличии большого объема данных, построение точной и интерпретируемой модели может оказаться сложной задачей, требующей значительных усилий и экспертных знаний. Использование линейных или полиномиальных моделей в таких случаях часто приводит к переобучению или недостаточно точному описанию реальных процессов.

Традиционные методы регрессионного анализа, несмотря на свою широкую распространенность, зачастую оказываются неспособны выявить фундаментальные физические законы, лежащие в основе наблюдаемых данных. Вместо того чтобы предоставить модель, отражающую причинно-следственные связи, они часто ограничиваются описанием статистических корреляций, не позволяя понять механизм возникновения явления. Это происходит из-за их линейной природы и неспособности к автоматическому обнаружению нелинейных зависимостей. В результате, полученные модели могут быть сложными и трудно интерпретируемыми, что препятствует углублению научного понимания и затрудняет предсказание поведения системы в новых условиях. Подобные ограничения особенно критичны в областях, где необходима не просто точность прогноза, но и возможность объяснения наблюдаемых процессов, например, в физике, химии или биологии, где важна не только констатация факта, но и понимание его причины и механизма.

В связи с ограничениями традиционных методов регрессии в выявлении сложных нелинейных зависимостей, возникла потребность в подходах, способных автоматически выводить управляющие уравнения из данных. Данная потребность послужила толчком к развитию символической регрессии (СР). В отличие от стандартных методов, требующих значительных усилий по инженерной обработке признаков и глубоких знаний предметной области, СР позволяет напрямую находить математические выражения, описывающие взаимосвязи в данных. Этот процесс не ограничивается простым предсказанием, а стремится к обнаружению фундаментальных физических законов или иных принципов, управляющих исследуемой системой. СР использует эволюционные алгоритмы для поиска оптимальной математической формулы, которая наилучшим образом соответствует имеющимся данным, представляя собой мощный инструмент для научного открытия и моделирования сложных процессов, где $f(x) = ax^2 + bx + c$ может быть автоматически определено из набора данных.

Генетическое программирование и его эволюция

Генетическое программирование (ГП) является основополагающим подходом к символьной регрессии, в котором кандидатные уравнения развиваются посредством процессов отбора, кроссовера и мутации. В рамках ГП, популяция уравнений представляется в виде дерева выражений, где каждый узел представляет оператор или переменную. Отбор осуществляется на основе критерия пригодности, оценивающего соответствие уравнения данным. Кроссовер предполагает обмен поддеревьями между двумя уравнениями, создавая новые варианты. Мутация вносит случайные изменения в структуру уравнения, например, замену оператора или переменной. Повторение этих процессов в течение нескольких поколений позволяет ГП находить уравнения, наилучшим образом описывающие заданную зависимость, используя принципы эволюционного алгоритма.

Реализации, такие как PySR, PyOperon и AI Feynman, используют генетическое программирование (ГП) в качестве основы, значительно улучшая его производительность за счет применения современных методов оптимизации и параллельных вычислений. PySR, например, использует автоматическое дифференцирование и регуляризацию для ускорения сходимости, в то время как PyOperon фокусируется на эволюции операторов, а AI Feynman использует нейронные сети для направления поиска. Параллельная обработка данных позволяет распределить вычислительную нагрузку между несколькими ядрами процессора или даже между несколькими машинами, существенно сокращая время, необходимое для поиска оптимальной модели. Эти подходы позволяют решать задачи символьной регрессии, которые ранее были недоступны из-за ограничений вычислительных ресурсов и эффективности алгоритмов.

Наивные реализации генетического программирования (ГП) могут быть вычислительно затратными, что требует применения стратегий для повышения эффективности поиска и предотвращения «раздутия» — тенденции к усложнению уравнений. Раздутие характеризуется увеличением количества операций и переменных без существенного улучшения точности модели, что приводит к экспоненциальному росту времени вычислений. Известно, что раздутые уравнения могут увеличивать время вычислений в 10 раз и более, что делает поиск оптимального решения непрактичным. Для смягчения этой проблемы используются методы регуляризации, ограничения на сложность уравнений и алгоритмы отбора, направленные на поддержание оптимального баланса между точностью и компактностью модели.

Современные подходы: глубокое обучение и интеллектуальный поиск

Системы, такие как EQL и uDSR, используют комбинацию глубокого обучения и обучения с подкреплением для управления процессом символической регрессии (SR). Глубокие нейронные сети применяются для прогнозирования эффективности различных кандидатов на уравнения, выступая в роли функции оценки, в то время как обучение с подкреплением используется для определения стратегии поиска, направленной на максимизацию этой оценки. Такой подход позволяет значительно ускорить сходимость алгоритма SR и повысить качество получаемых решений, особенно в сложных задачах, где традиционные методы испытывают трудности. Эффективность EQL и uDSR демонстрируется на задачах, требующих поиска сложных функциональных зависимостей в данных.

Система AI Descartes применяет аксиоматические и формальные методы доказательства для выявления уравнений, обеспечивая более строгий и интерпретируемый подход к процессу открытия уравнений. В отличие от традиционных методов, основанных на эвристических алгоритмах, Descartes использует формальную логику и математические доказательства для проверки корректности полученных уравнений. Это позволяет не только находить решения, но и гарантировать их валидность и объяснимость. В основе системы лежит возможность представления знаний в виде аксиом и последующего использования формальных теорем для вывода новых уравнений или проверки существующих гипотез. Такой подход особенно важен в областях, требующих высокой степени достоверности и прозрачности результатов, например, в фундаментальных научных исследованиях и инженерном моделировании.

Методы SHRED и BRUSH внедряют новые стратегии оптимизации, направленные на повышение эффективности процесса поиска уравнений. SHRED использует разреженную регрессию ($L_1$-регуляризацию) для выявления наиболее значимых термов в уравнениях, что позволяет упростить модели и снизить вычислительную сложность. BRUSH, в свою очередь, применяет многоцелевую оптимизацию, одновременно учитывая точность предсказания и сложность модели, что позволяет находить компромисс между этими параметрами и избегать переобучения. Оба подхода направлены на улучшение качества полученных уравнений и ускорение сходимости процесса поиска.

Повышение эффективности и надежности с помощью передовых методов

В процессе символической регрессии (SR) вычислительная сложность часто связана с повторяющимися выражениями. Для значительного снижения затрат ресурсов применяются методы, такие как Zobrist хеширование и графы равенства. Zobrist хеширование позволяет быстро сравнивать выражения, преобразуя их в уникальные хеш-коды, что позволяет мгновенно идентифицировать дубликаты. Графы равенства, в свою очередь, строят структуру, где эквивалентные выражения объединяются в один узел, избегая повторных вычислений. Благодаря этим техникам, SR может эффективно обрабатывать большие объемы данных и сложные модели, значительно ускоряя процесс поиска оптимальных уравнений и повышая общую производительность алгоритма. В результате, даже при работе с высокоразмерными пространствами признаков, вычислительные затраты остаются управляемыми, обеспечивая практическую применимость SR для решения широкого круга научных и инженерных задач.

Интеграция фундаментальных и больших языковых моделей значительно ускоряет и повышает точность процесса символьной регрессии. Эти модели способны генерировать начальные гипотезы, предлагая отправные точки для поиска оптимальных уравнений, что существенно сокращает время вычислений. Более того, они помогают в интерпретации полученных результатов, выявляя наиболее значимые переменные и связи между ними. Например, языковая модель может проанализировать полученную формулу $y = ax + b$ и предложить, что переменная ‘x’ оказывает линейное влияние на ‘y’, а ‘b’ представляет собой смещение. Таким образом, использование этих моделей позволяет не только автоматизировать процесс символической регрессии, но и получать более глубокое понимание лежащих в основе данных закономерностей.

Принцип бережливости играет ключевую роль в процессе символьной регрессии, позволяя получать наиболее лаконичные и понятные уравнения. Используя, например, принцип минимальной длины описания (MDL), алгоритм стремится к построению моделей с минимальным количеством параметров, достаточным для адекватного описания данных. Это не только упрощает интерпретацию полученных результатов, но и повышает обобщающую способность модели, снижая риск переобучения. Поиск наиболее компактного представления $f(x)$ является фундаментальным для научного понимания, поскольку позволяет выявить ключевые взаимосвязи и закономерности, а также создавать более эффективные и практичные модели для различных приложений, от физики и инженерии до экономики и биологии.

Будущее научных открытий с помощью символьной регрессии

Символическая регрессия становится всё более востребованным инструментом в научных исследованиях, предоставляя возможность учёным выводить фундаментальные физические законы непосредственно из экспериментальных данных. В отличие от традиционных методов, где исследователь формулирует гипотезу и затем проверяет её, символическая регрессия позволяет алгоритму самостоятельно искать математические выражения, наилучшим образом описывающие наблюдаемые закономерности. Этот подход особенно ценен при анализе сложных систем, где явные уравнения неизвестны или трудно выводимы. Алгоритм, используя данные, может выявить скрытые зависимости и предложить уравнения, например, вида $y = ax^2 + bx + c$, которые бы точно предсказывали поведение системы. Такой метод открывает новые горизонты в понимании природных явлений и автоматизации процесса научных открытий, позволяя исследовать данные без априорных предположений о форме искомого закона.

Полученные с помощью символьной регрессии уравнения находят применение в создании эмуляторов — быстрых и точных математических приближений к сложным симуляциям. Эти эмуляторы позволяют исследователям значительно ускорить изучение многомерных пространств параметров, избегая необходимости повторного запуска ресурсоемких численных моделей. Вместо того чтобы тратить дни или недели на вычисления, эмулятор, представляющий собой компактную математическую формулу, например, $y = ax^2 + bx + c$, способен мгновенно предсказывать результаты для различных входных данных. Такой подход особенно ценен в областях, где требуется оптимизация или анализ чувствительности сложных систем, таких как климатическое моделирование, проектирование материалов или изучение биологических процессов, открывая путь к более эффективным научным исследованиям и инновациям.

Современные методы символьной регрессии, такие как исчерпывающая символическая регрессия и Bayesian Machine Scientist, значительно расширяют возможности автоматизированного научного поиска. Исчерпывающая символическая регрессия, в отличие от традиционных генетических алгоритмов, систематически исследует все возможные математические выражения в заданном пространстве, гарантируя нахождение оптимальной модели, описывающей экспериментальные данные. Bayesian Machine Scientist, в свою очередь, использует байесовский подход для оценки вероятности различных уравнений, позволяя эффективно исследовать гипотезы и строить эмуляторы — быстрые и точные математические аппроксимации сложных симуляций. Эти подходы не только ускоряют процесс открытия новых физических законов, но и позволяют автоматизировать разработку и оптимизацию сложных систем, открывая путь к автономным научным исследованиям и инновациям. Например, используя $SR$-модели, можно быстро прогнозировать поведение сложных процессов, заменяя ресурсоемкие численные симуляции простыми математическими функциями.

Исследование символической регрессии, представленное в данной работе, стремится к автоматизации процесса научного открытия, выявляя скрытые закономерности в данных и формулируя соответствующие уравнения. Этот подход, позволяющий создавать эмпирические модели и эффективные эмуляторы, требует особой ясности и лаконичности. Как однажды заметил Эдсгер Дейкстра: «Простота — это высшая степень изысканности». Стремление к элегантным и понятным моделям, свободным от излишней сложности, соответствует духу данной работы, подчеркивающей важность интерпретируемости и эффективности в научных исследованиях. В конечном итоге, цель состоит не в создании сложных конструкций, а в достижении совершенства посредством удаления всего лишнего.

Что дальше?

Попытки автоматизировать открытие физических законов, какими бы элегантными они ни казались, неизбежно наталкиваются на сложность самой реальности. Символьная регрессия, как инструмент, демонстрирует потенциал, но не является панацеей. Основная проблема заключается не в алгоритмах, а в данных. Шум, неполнота, систематические ошибки — всё это лишь отражение несовершенства измерений, а значит, и ограничение любого автоматизированного поиска.

Будущие исследования, вероятно, сместятся от поиска «универсальных» уравнений к построению более точных эмуляторов. Задача не в том, чтобы «открыть» закон, а в том, чтобы создать модель, предсказывающую поведение системы с достаточной точностью для конкретной задачи. Это смещение требует не только усовершенствования алгоритмов символьной регрессии, но и разработки методов оценки достоверности полученных моделей — а это, в свою очередь, требует более глубокого понимания природы ошибок.

Иронично, но в погоне за автоматизацией мы рискуем упустить главное — интуицию. Интуиция — это лучший компилятор, а код должен быть очевиден, как гравитация. Поэтому, возможно, наиболее перспективным направлением станет разработка систем, которые не заменяют учёного, а усиливают его способности, предоставляя инструменты для визуализации, анализа и проверки гипотез. Простота — высшая форма сложности.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.15920.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-19 14:07

🚀 Квантовые новости