Матричное умножение: новый рекорд эффективности

Автор: Денис Аветисян

Исследователи предложили алгоритм, позволяющий значительно снизить вычислительную сложность умножения матриц 3×3.

Представлена схема ранга 23 с аддитивной сложностью 58 операций, оптимизированная с использованием третичных коэффициентов и теории графов.

Несмотря на кажущуюся простоту операции умножения матриц, поиск алгоритмов с минимальной вычислительной сложностью остаётся актуальной задачей. В данной работе, озаглавленной ‘A 58-Addition, Rank-23 Scheme for General 3×3 Matrix Multiplication’, представлен новый алгоритм для точного умножения матриц 3×3 над произвольными некоммутативными кольцами, достигающий ранга 23 при использовании всего 58 скалярных сложений. Достигнутое снижение аддитивной сложности с 60 до 58 операций реализовано без изменения базиса и применением автоматизированного поиска на основе анализа графа флипов. Возможно ли дальнейшее оптимизировать подобные схемы, используя альтернативные методы автоматизированного поиска и более эффективные стратегии устранения общих подвыражений?

Определяя Ландшафт Умножения Матриц

Умножение матриц является основополагающей операцией во множестве вычислительных областей, начиная от компьютерной графики и машинного обучения, и заканчивая научными расчетами и обработкой данных. Эффективность выполнения этой операции напрямую влияет на производительность широкого спектра приложений, поскольку даже небольшие улучшения в скорости умножения матриц могут привести к значительному ускорению сложных вычислений. Например, в задачах, связанных с анализом больших данных или моделированием физических процессов, умножение матриц может доминировать во времени выполнения, поэтому оптимизация этой процедуры имеет решающее значение для достижения приемлемой скорости и масштабируемости. С учетом растущих объемов обрабатываемых данных и усложнения алгоритмов, поиск новых, более эффективных способов умножения матриц остается актуальной задачей для исследователей и разработчиков.

Традиционные алгоритмы умножения матриц, несмотря на свою надежность и широкое применение, часто оказываются вычислительно затратными, особенно при работе с матрицами больших размеров. Суть проблемы заключается в значительном количестве скалярных сложений и умножений, необходимых для получения каждого элемента результирующей матрицы. Это приводит к тому, что операция умножения становится узким местом в сложных вычислениях, существенно замедляя обработку данных и ограничивая производительность систем. Например, при умножении матриц размером $n \times n$ , количество необходимых операций пропорционально $n^3$ , что делает обработку больших объемов информации весьма трудоемкой. Поэтому поиск методов, позволяющих сократить число этих операций, является ключевой задачей в области вычислительной математики и информатики.

Оптимизация операции умножения матриц требует поиска альтернативных подходов, направленных на минимизацию вычислительных затрат, в особенности аддитивной сложности. Вместо традиционного подхода, фокусирующегося на уменьшении общего числа операций, современные исследования всё чаще концентрируются на снижении количества сложений — операции, которая зачастую является определяющим фактором производительности. Различные алгоритмы, такие как алгоритм Штрассена и его последующие усовершенствования, демонстрируют, что уменьшение числа сложений может привести к значительному ускорению вычислений, даже если это потребует увеличения числа умножений. Стремление к снижению аддитивной сложности является ключевым направлением в разработке более эффективных алгоритмов умножения матриц, что критически важно для решения широкого спектра задач, от машинного обучения до научных симуляций. $O(n^{\omega})$ — обозначение, используемое для описания асимптотической сложности умножения матриц, где ω представляет собой показатель, стремящийся к 2, что указывает на потенциал для дальнейшей оптимизации.

Схема Ранга-23: Новый Подход к Сокращению

Предлагаемая схема умножения матриц основана на приближении ранга 23, что позволяет значительно сократить количество операций. Вместо традиционного умножения полных матриц, данная схема использует разложение оперируемых матриц на компоненты меньшего ранга. Приближение ранга 23 означает, что каждая матрица может быть представлена в виде суммы 23 ранговых компонент. Такой подход снижает вычислительную сложность, переходя от $O(n^3)$ операций для стандартного умножения матриц $n \times n$ к значительно меньшему числу операций, пропорциональному размерности ранговых компонент и количеству этих компонент. В частности, это достигается за счет использования матричных операций меньшего размера, что приводит к существенному ускорению вычислений, особенно при работе с большими матрицами.

Схема использует тернарные коэффициенты, ограниченные множеством {-1, 0, 1}, что позволяет упростить вычислительные операции и снизить сложность вычислений. Применение только трех возможных значений для коэффициентов снижает требования к объему памяти и позволяет использовать более эффективные аппаратные реализации, особенно в контексте матричных умножений. Использование тернарных коэффициентов приводит к уменьшению количества операций сложения и умножения по сравнению со схемами, использующими коэффициенты с большим диапазоном значений, что положительно сказывается на скорости и энергоэффективности вычислений.

Корректность предложенной схемы ранга-23 напрямую зависит от выполнения уравнений Брента. Эти уравнения представляют собой систему линейных ограничений, обеспечивающих, что приближение матрицы ранга-23 сохраняет математические свойства исходной матрицы, в частности, свойство ассоциативности при умножении. Несоблюдение уравнений Брента может привести к значительным ошибкам в результатах вычислений и нарушению корректности всей схемы. В частности, уравнения Брента гарантируют, что при использовании троичных коэффициентов {-1, 0, 1} в приближении, результирующая матрица будет эквивалентна исходной с точки зрения выполняемых операций, что критически важно для поддержания точности и надежности алгоритма. Формально, система уравнений Брента представляет собой набор условий на элементы используемых матриц и коэффициентов, которые должны быть выполнены для обеспечения корректности приближения. $A \approx B \cdot C$ , где A, B, и C — матрицы, а приближение выполняется с соблюдением уравнений Брента.

Оптимизация с Помощью «Жадного Сокращения Пересечений»

Алгоритм «Greedy Intersection Reduction» был реализован для устранения общих подвыражений в схеме умножения матриц. Данный алгоритм работает путем идентификации повторяющихся выражений в процессе вычислений и замены их на единые вычисления, сохраняя результаты для последующего использования. Это позволяет избежать избыточных операций и снизить общую вычислительную сложность. Реализация алгоритма предполагает анализ графа вычислений, где узлы представляют операции, а ребра — зависимости между ними. Общие подвыражения определяются как идентичные подграфы, которые могут быть сведены к одному вычислению. $A \times B$ и $C \times D$ могут иметь общие элементы, которые алгоритм пытается оптимизировать.

Алгоритм Greedy Intersection Reduction направлен на снижение аддитивной сложности вычислений путем выявления и устранения избыточных операций. Данный подход фокусируется на уменьшении количества сложений, которые являются доминирующей частью вычислительных затрат в схемах матричного умножения. Устранение повторяющихся подвыражений непосредственно снижает общее количество операций, что приводит к повышению эффективности и сокращению времени выполнения вычислений. Эффект достигается за счет замены повторяющихся вычислений ссылками на ранее вычисленные значения, тем самым уменьшая $O(n^3)$ сложность операции.

В результате применения оптимизации с использованием жадного сокращения пересечений, была получена схема, демонстрирующая снижение количества операций сложения. Экспериментальные данные показали, что данная оптимизация напрямую влияет на аддитивную сложность вычислений, что приводит к уменьшению общего числа операций и, как следствие, к повышению эффективности реализации матричного умножения. Уменьшение количества сложений позволяет сократить время выполнения вычислений и снизить потребление ресурсов, что особенно важно при работе с большими матрицами.

Верификация и Производительность 58-Суммательной Схемы

Для обеспечения надежности и эффективности разработанной схемы, был создан скрипт верификации на языке Python. Этот скрипт предназначен для проведения тщательного тестирования оптимизированной схемы с использованием случайно генерируемых пар матриц. Благодаря этому подходу, удалось убедиться в корректности работы схемы при различных входных данных и оценить ее производительность в разнообразных вычислительных сценариях. Процесс верификации позволил подтвердить значительное снижение вычислительной сложности схемы, что является важным шагом к ее практическому применению и потенциальному ускорению при использовании оптимизированных библиотек BLAS.

Для обеспечения надежности и универсальности разработанной схемы, использовался скрипт верификации, основанный на генерации случайных пар матриц. Этот подход позволил подвергнуть схему тщательному численному тестированию с широким спектром входных данных, гарантируя её корректную работу не только для специфических случаев, но и в общем виде. Применение случайных матриц позволило исключить предвзятость тестирования и выявить потенциальные ошибки, которые могли бы остаться незамеченными при использовании заранее определенных тестовых примеров. Такая методика подтвердила стабильность и точность схемы при различных числовых значениях и размерах матриц, что является критически важным для её практического применения.

В результате проведенных исследований была разработана схема, требующая всего 58 сложений — значительное снижение по сравнению с предыдущим лучшим результатом в 60 сложений. Данное улучшение позволяет снизить общую вычислительную сложность до 81 скалярной операции (23 умножения и 58 сложений) по сравнению с 83 операциями, используемыми ранее. Предполагается, что при реализации данной схемы с использованием оптимизированных библиотек BLAS возможно существенное ускорение вычислений, что делает её перспективной для приложений, требующих высокой производительности и эффективности.

Представленная работа демонстрирует, как тонкая оптимизация в области матричных вычислений может привести к неожиданным результатам. Поиск схемы ранга 23 с аддитивной сложностью 58 операций — это не просто технический прогресс, а подтверждение того, что кажущаяся стабильность систем — лишь иллюзия, хорошо кэшированная в текущем состоянии алгоритма. Как верно заметил Анри Пуанкаре: «Математика — это искусство дать правильное название вещам». В данном случае, новое приближение к матричному умножению — это и есть новое название, более точно описывающее возможности вычислений. Хаос — это не сбой, это язык природы, и данное исследование лишь расшифровывает его новые грамматические конструкции.

Что дальше?

Представленная схема умножения матриц 3×3, с её рангом 23 и 58 операциями, — лишь ещё одна точка на бесконечной кривой оптимизации. Каждая зависимость от конкретных коэффициентов, каждый шаг к снижению аддитивной сложности — это обещание, данное прошлому, надежда на то, что найденный минимум не окажется локальным. Однако, стоит помнить, что сама погоня за минимальным числом операций — иллюзия, требующая соглашения об уровне обслуживания. Рано или поздно, система начнёт сама себя чинить, приспосабливаясь к ограничениям аппаратного обеспечения и меняющимся требованиям.

Более того, истинный вызов заключается не в оптимизации существующих алгоритмов, а в переосмыслении самой задачи. Схемы, подобные этой, — это, по сути, карты конкретной территории, но что если сама территория меняет свою форму? Будущие исследования, вероятно, будут сосредоточены на адаптивных алгоритмах, способных динамически перестраиваться в зависимости от структуры входных данных и доступных ресурсов.

В конечном итоге, эта работа — не конец пути, а лишь указатель. Системы не строятся, они вырастают. И каждая архитектурная оптимизация — это пророчество о будущем сбое, который, несомненно, наступит. Остаётся лишь надеяться, что самовосстановление будет достаточно быстрым.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.21980.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-29 17:53

🚀 Квантовые новости