Нейронные сети и частицы: как точно измерить внутреннюю структуру протона

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование раскрывает динамику обучения нейронных сетей, используемых для определения функций распределения частиц, позволяя получить более точные представления о структуре протона.

Поведение величин <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\Delta[U(t)f\_{0}]</span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\Delta[V(t)Y]</span>, определяемых уравнениями (83) и (84), демонстрирует зависимость от времени обучения, при этом операторы <span class="katex-eq" data-katex-display="false">U(T)</span> и <span class="katex-eq" data-katex-display="false">V(T)</span>, построенные на основе ядра НТК при <span class="katex-eq" data-katex-display="false">T\_{\rm ref}=10000</span>, остаются фиксированными, а оценки неопределенностей получены из ансамбля бутстрапа, как описано в тексте. — Поведение величин $\Delta[U(t)f\_{0}]$ и $\Delta[V(t)Y]$ , определяемых уравнениями (83) и (84), демонстрирует зависимость от времени обучения, при этом операторы $U(T)$ и $V(T)$ , построенные на основе ядра НТК при $T\_{\rm ref}=10000$ , остаются фиксированными, а оценки неопределенностей получены из ансамбля бутстрапа, как описано в тексте.

Работа использует методы анализа с помощью ядра нейронных касательных (Neural Tangent Kernel) и демонстрирует ‘ленивый режим обучения’ в процессе определения функций распределения частиц.

Несмотря на растущую точность экспериментов на коллайдерах, надежная оценка неопределенностей при определении функций распределения партонов (PDF) остается сложной задачей. В работе ‘Quantitative Understanding of PDF Fits and their Uncertainties’ представлен теоретический анализ динамики обучения нейронных сетей, используемых для определения PDF, основанный на ядре касательных нейросетей (NTK). Показано, что в определенных условиях обучение протекает в так называемом “ленивом режиме”, позволяющем получить аналитическое описание эволюции сети и распространения неопределенностей от экспериментальных данных к полученным PDF. Возможно ли использовать полученные результаты для разработки более эффективных и надежных методик определения PDF и оценки их точности?

Фундаментальная Необходимость: Функции Распределения Партонов и Пределы Традиционных Методов

Точное определение функций распределения партонов (ФРП) является фундаментальным требованием для высокоточных расчетов в физике высоких энергий. Эти функции, по сути, описывают, как импульс нуклона разделяется между его составляющими — кварками и глюонами. В экспериментах на коллайдерах, таких как Большой адронный коллайдер, понимание ФРП необходимо для интерпретации результатов и проверки Стандартной модели. Любая неточность в определении ФРП напрямую влияет на предсказания сечения рассеяния и, следовательно, на возможность обнаружения новых частиц или явлений. При поиске редких распадов бозона Хиггса или изучении свойств топ-кварка, точные знания о ФРП критически важны для отделения сигнала от фона и повышения статистической значимости результатов. Таким образом, постоянное совершенствование методов определения ФРП остается одной из ключевых задач современной физики высоких энергий.

Традиционные методы определения функций распределения частиц (ФРЧ), являющиеся фундаментом высокоэнергетических расчетов, часто сталкиваются с серьезными вычислительными трудностями. По мере увеличения точности требуемых расчетов, количество необходимых вычислений экспоненциально возрастает, делая процесс крайне ресурсоемким и продолжительным. Более того, надежная оценка неопределенностей, связанных с ФРЧ, представляет собой отдельную проблему. Стандартные подходы зачастую не позволяют адекватно учесть все источники погрешностей, что может приводить к занижению или переоценке точности теоретических предсказаний. Это особенно критично при анализе данных, полученных на Большом адронном коллайдере, где требуются чрезвычайно точные предсказания для выявления новых физических явлений и проверки Стандартной модели. Таким образом, поиск новых, более эффективных и надежных методов определения ФРЧ является актуальной задачей современной физики высоких энергий.

Сложность функций распределения частиц (PDF) требует применения передовых статистических и вычислительных методов для обеспечения надежного анализа. Эти функции, описывающие вероятность обнаружения частиц внутри протонов и других адронов, обладают высокой размерностью и нелинейностью, что делает традиционные методы анализа подверженными значительным вычислительным затратам и трудностям в оценке погрешностей. Для точного определения PDF необходимы сложные алгоритмы, такие как методы Монте-Карло и байесовский вывод, позволяющие эффективно исследовать многомерное пространство параметров и получать достоверные оценки с учетом статистической неопределенности. Разработка и применение этих передовых методов открывает возможности для более точных предсказаний в физике высоких энергий и углубленного понимания структуры адронов. $Q^2$ и $x$ — ключевые параметры, влияющие на форму PDF.

Сравнение эмпирической (слева), полученной бутстрапом по ансамблю из 1000 реплик, и аналитической (справа), вычисленной численно из уравнения <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\eqref{eq:20}</span>, ковариационных матриц первого, второго и выходного слоев архитектуры NNPDF демонстрирует их соответствие. — Сравнение эмпирической (слева), полученной бутстрапом по ансамблю из 1000 реплик, и аналитической (справа), вычисленной численно из уравнения $\eqref{eq:20}$ , ковариационных матриц первого, второго и выходного слоев архитектуры NNPDF демонстрирует их соответствие.

Методология NNPDF: Байесовский Подход с Использованием Нейронных Сетей

Методология NNPDF использует байесовский вывод для определения функций плотности распределения (PDF) путём комбинирования теоретических ограничений и экспериментальных данных. В рамках этого подхода, априорные знания о PDF, основанные на теоретических принципах, таких как унитарность и асимптотическое поведение, объединяются с информацией, полученной из экспериментальных измерений, например, из столкновений частиц в Большом адронном коллайдере. Байесовский вывод позволяет получить апостериорное распределение PDF, которое отражает степень уверенности в значениях PDF, учитывая как теоретические ограничения, так и экспериментальные данные. Этот процесс позволяет не только оценить значения PDF, но и количественно оценить неопределенности, связанные с этими оценками, что критически важно для точных предсказаний в физике высоких энергий.

В методологии NNPDF нейронные сети используются в качестве гибких параметризаций функций плотности распределения (PDF). Это позволяет описывать сложные функциональные зависимости, характерные для PDF, которые трудно адекватно представить с помощью традиционных параметрических форм. Использование нейронных сетей обеспечивает высокую точность аппроксимации и позволяет эффективно вычислять значения PDF в широком диапазоне кинематических переменных. В отличие от фиксированных параметрических моделей, нейронные сети адаптируются к данным, что повышает качество описания экспериментальных данных и позволяет более точно определять неопределенности, связанные с PDF.

Метод Монте-Карло является неотъемлемой частью методологии NNPDF, обеспечивая надежную оценку неопределенностей и исследование пространства параметров PDF. В рамках данного подхода генерируется большое количество случайных выборок параметров PDF, каждая из которых соответствует определенной точке в многомерном пространстве. Для каждой выборки рассчитываются теоретические предсказания, которые сравниваются с экспериментальными данными. Статистический анализ полученных результатов позволяет определить наиболее вероятные значения параметров PDF, а также оценить связанные с ними систематические и статистические неопределенности. Использование метода Монте-Карло позволяет эффективно исследовать сложные корреляции между параметрами PDF и количественно оценить влияние неопределенностей на предсказания физических величин, что критически важно для точных расчетов в физике высоких энергий.

Методология NNPDF использует нейронную сеть с архитектурой, состоящей из 2 входных, 25, 20 и 8 нейронов в скрытых слоях. Такая структура сети обеспечивает эффективное исследование пространства параметров функций плотности вероятностей (PDF). Выбранная конфигурация позволяет моделировать сложные функциональные зависимости, характерные для PDF, и при этом сохраняет вычислительную эффективность, необходимую для проведения Монте-Карло сэмплирования и оценки неопределенностей.

Сравнение эмпирического ядра, вычисленного из ансамбля сетей при инициализации, с рекурсивным ядром, полученным итерацией <span class="katex-eq" data-katex-display="false">Eq. (20)</span> для трех слоев архитектуры NNPDF, показывает их соответствие, достигнутое благодаря использованию ансамбля из 1000 реплик для снижения ошибок бутстрэпа. — Сравнение эмпирического ядра, вычисленного из ансамбля сетей при инициализации, с рекурсивным ядром, полученным итерацией $Eq. (20)$ для трех слоев архитектуры NNPDF, показывает их соответствие, достигнутое благодаря использованию ансамбля из 1000 реплик для снижения ошибок бутстрэпа.

Динамика Обучения и Предел Широких Сетей

Процесс обучения нейронных сетей основан на использовании алгоритма градиентного спуска для минимизации функции потерь. Эта функция количественно определяет расхождение между предсказаниями сети и имеющимися данными, представляя собой меру ошибки модели. Градиентный спуск итеративно корректирует веса сети в направлении, противоположном градиенту функции потерь, стремясь к нахождению параметров, которые минимизируют данное расхождение. Выбор функции потерь зависит от конкретной задачи — например, для задач классификации часто используется кросс-энтропия, а для задач регрессии — среднеквадратичная ошибка $MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$ . Эффективность обучения напрямую зависит от выбора функции потерь, алгоритма оптимизации и скорости обучения.

В процессе обучения глубоких нейронных сетей наблюдается переход к так называемому “ленивому режиму обучения” (lazy training regime). В этом режиме ядро Нейронных Касательных (Neural Tangent Kernel, $K(x, x')$ ) стабилизируется, то есть его параметры перестают существенно изменяться на протяжении обучения. Это позволяет аналитически описывать динамику обучения, поскольку поведение сети становится определяемым через свойства этого стабилизированного ядра. Стабилизация ядра упрощает анализ и предсказание результатов обучения, позволяя выводить теоретические гарантии сходимости и обобщающей способности сети, что затруднительно при нелинейном, изменяющемся характере обучения в общем случае.

Ядро нейронных касательных $K(x, x')$ , определяемое в функциональном пространстве, представляет собой инструмент для анализа поведения и обобщающей способности нейронных сетей. Оно описывает изменение выхода сети при бесконечно малых изменениях входа и весов, позволяя аппроксимировать динамику обучения в пределе бесконечной ширины сети. В этом пределе ядро становится детерминированным, что упрощает теоретический анализ и позволяет предсказывать производительность сети на новых данных. По сути, ядро нейронных касательных предоставляет меру сходства между различными точками данных в функциональном пространстве, определяемом архитектурой и весами сети, что влияет на способность сети к интерполяции и экстраполяции.

В поздних стадиях обучения нейронных сетей, вклад статистических ошибок в данных, используемых для тренировки, начинает доминировать над ошибками, связанными с самой моделью. Это означает, что точность предсказаний ограничивается не способностью сети к обучению, а уровнем шума и неточностей, присутствующих в обучающем наборе данных. В результате, определение функции плотности вероятности (PDF) для предсказаний становится все более затруднительным, поскольку влияние статистических ошибок превосходит возможности анализа, основанного на параметрах сети. $P(y|x)$ становится определяемой не столько структурой сети, сколько свойствами распределения входных данных $x$ и уровнем шума в целевых переменных $y$ .

Правильная инициализация весов нейронной сети, например, с использованием Glorot Normal Initializer (также известного как Xavier initialization), критически важна для обеспечения стабильности и эффективности обучения. Данный метод предполагает инициализацию весов из нормального распределения со средним значением 0 и дисперсией $2 / (n_{l-1} + n_l)$ , где $n_{l-1}$ и $n_l$ — количество нейронов в предыдущем и текущем слоях соответственно. Это позволяет избежать проблем, связанных с затуханием или взрывом градиентов в процессе обратного распространения ошибки, обеспечивая более равномерное распределение активаций и, следовательно, ускорение сходимости и улучшение обобщающей способности модели. Неправильная инициализация может привести к медленному обучению, нестабильности или даже к невозможности обучения сети.

Анализ собственных векторов NTK показывает, что к началу режима «ленивого» обучения входная функция $f^{\rm in}$ полностью лежит в подпространстве, определяемом первыми четырьмя собственными векторами, что свидетельствует о выравнивании признаков NTK с физически значимыми направлениями задачи.

Статистическая Строгость и Предел Широких Сетей

Определение вероятностных распределений (PDF) в рамках нейронных сетей сталкивается с неотъемлемой неопределенностью, обусловленной статистическими ошибками во входных данных и ограничениями процесса обучения. Неточности, присутствующие в исходном наборе данных, неизбежно влияют на точность полученных PDF, создавая погрешности в оценке вероятностей. Более того, ограничения, связанные с архитектурой нейронной сети, количеством параметров и алгоритмами оптимизации, также вносят свой вклад в общую неопределенность. В результате, полученные PDF не являются абсолютно точными представлениями истинного распределения, а представляют собой оценки с определенной степенью ошибки, которую необходимо учитывать при анализе и интерпретации результатов. Понимание источников этой неопределенности имеет решающее значение для оценки надежности и достоверности полученных результатов и для разработки методов, направленных на минимизацию ошибок и повышение точности.

Разложение смещения и дисперсии представляет собой мощный инструмент, позволяющий систематически оценить различные источники погрешностей в результатах NNPDF. Этот подход позволяет разделить общую ошибку на две основные составляющие: смещение, отражающее систематическую ошибку, возникающую из-за упрощений в модели или неполноты данных, и дисперсию, характеризующую чувствительность результатов к флуктуациям в обучающем наборе. Применение данного метода к анализу NNPDF позволяет определить, какая часть неопределенности связана с неспособностью нейронной сети точно аппроксимировать истинное распределение вероятностей $f(x)$ , а какая — с ограниченностью статистической выборки. Такой детальный анализ необходим для надежной оценки погрешностей и повышения доверия к полученным результатам, что особенно важно при исследовании физики высоких энергий и других областей, где точность имеет решающее значение.

Исследование предельного поведения нейронных сетей при бесконечном увеличении числа параметров предоставляет мощный теоретический каркас для анализа их функционирования. В рамках этого подхода, поведение сети приближается к гауссовскому процессу, что позволяет использовать инструменты математической статистики для предсказания и оценки точности результатов. Рассмотрение предельного случая упрощает анализ сложных нейронных архитектур и выявляет фундаментальные закономерности обучения, независимые от конкретной реализации сети. Такой анализ позволяет понять, как различные факторы, такие как объем обучающих данных и архитектура сети, влияют на способность модели к обобщению и прогнозированию, а также дает возможность оценить неопределенность, связанную с использованием нейронных сетей в научных исследованиях и практических приложениях.

Исследования показали, что существует заметная корреляция между собственными значениями ядра нейронных касательных $\mathcal{K}$ и изменениями наклона дисперсии в процессе обучения нейронной сети. Анализ показал, что определенные переходы в наклоне кривой дисперсии соответствуют специфическим изменениям в спектре собственных значений ядра, что указывает на связь между геометрией пространства параметров сети и динамикой обучения. Эта взаимосвязь позволяет глубже понять, как сеть адаптируется к данным и как различные части пространства параметров влияют на общую производительность. В частности, обнаружено, что значительные изменения в собственных значениях часто предшествуют периодам быстрого обучения или изменениям в сложности модели, что подчеркивает роль ядра нейронных касательных в определении скорости и направления оптимизации.

Исследования показали, что влияние априорной неопределенности на результаты анализа данных существенно различается в зависимости от масштабирования входных данных. При линейном масштабировании априорная неопределенность оказывает более выраженное влияние, что указывает на повышенную чувствительность к исходным предположениям о распределении вероятностей. В то же время, при использовании логарифмического масштабирования, эта чувствительность снижается, поскольку логарифмическая трансформация сглаживает разброс данных и уменьшает влияние экстремальных значений. Этот феномен подчеркивает критическую важность выбора подходящего представления данных для обеспечения надежности и точности результатов, особенно в контексте задач, где априорные знания играют значительную роль. Различия в поведении при разных масштабированиях указывают на необходимость тщательного анализа влияния представления данных на конечные результаты и выбор оптимальной стратегии для минимизации систематических ошибок.

При инициализации ансамбля нейронных сетей архитектуры NNPDF наблюдается, что использование масштабированного ввода <span class="katex-eq" data-katex-display="false">f(x, \log x)</span> (оранжевый) по сравнению с линейным вводом <span class="katex-eq" data-katex-display="false">f(x)</span> (синий) незначительно влияет на выходные данные, при этом твердые линии отображают среднее значение по 100 репликам ансамбля, а заштрихованные области - одно-сигма неопределенность. — При инициализации ансамбля нейронных сетей архитектуры NNPDF наблюдается, что использование масштабированного ввода $f(x, \log x)$ (оранжевый) по сравнению с линейным вводом $f(x)$ (синий) незначительно влияет на выходные данные, при этом твердые линии отображают среднее значение по 100 репликам ансамбля, а заштрихованные области — одно-сигма неопределенность.

Исследование демонстрирует, что обучение нейронных сетей в определении функций распределения частиц (PDF) может быть описано аналитически посредством ядра нейронных касательных (Neural Tangent Kernel). Этот подход выявляет режим «ленивого обучения», где сеть эволюционирует в функциональном пространстве, избегая сложных нелинейных изменений. Как отмечал Альбер Камю: «Не нужно надеяться на то, что существует готовый смысл, который можно найти. Нужно создавать его». В контексте данной работы, это означает, что вместо поиска оптимальной конфигурации сети эмпирическим путем, предлагается построение теоретической основы для понимания и предсказания ее поведения, создавая тем самым смысл в процессе обучения.

Что дальше?

Представленное исследование, хотя и проливает свет на динамику обучения нейронных сетей в контексте определения функций распределения частиц (PDF), лишь подчеркивает глубину нерешенных вопросов. Аналитическое описание обучения в режиме «ленивой тренировки», опирающееся на ядро нейронных касательных, представляется элегантным, но его применимость вне рамок строго определенных предположений вызывает обоснованные сомнения. Доказательство корректности, а не просто соответствие тестовым данным, остается краеугольным камнем любой серьезной методологии.

Очевидной задачей является расширение аналитического аппарата для учета более сложных архитектур нейронных сетей и нелинейных эффектов, неизбежно возникающих в реальных задачах. Не менее важным представляется разработка эффективных методов оценки неопределенностей, выходящих за рамки стандартных байесовских подходов и учитывающих специфику «ленивого режима». Простое увеличение объема выборки методом Монте-Карло не является решением, если сама модель не обладает достаточной устойчивостью.

В конечном итоге, истинный прогресс потребует отказа от интуитивных представлений о «черном ящике» и перехода к принципиально новым способам понимания и контроля процессов обучения. Иначе говоря, математическая строгость должна превалировать над эмпирическими наблюдениями, даже если это означает необходимость отказа от кажущихся удобными приближений.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.24116.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-01-02 19:44

🚀 Квантовые новости