Интуиция и ИИ: Решение сложнейшей математической задачи

Автор: Денис Аветисян

Новый подход к сотрудничеству человека и искусственного интеллекта позволил найти решение задачи Международной математической олимпиады 2025 года, демонстрируя скрытый потенциал современных моделей.

Адаптивная стратегия ортогонального веерообразного распределения для $n=25$ демонстрирует эффективное формирование множества обманчивых элементов размером 40, превосходящего целевой порог в 32, при котором точки, соответствующие остаточным перестановкам, образуют структуру, а линии наибольшего возрастания (красная) и убывания (синяя) пересекаются в точке опоры (зеленая звезда), указывая на направленное расширение выделенных ячеек.

В статье представлен метод Vibe Reasoning, успешно примененный к задаче IMO 2025 Problem 6 и раскрывающий возможности больших языковых моделей при минимальном участии человека.

Несмотря на впечатляющие возможности современных ИИ-моделей, их применение к сложным математическим задачам часто сталкивается с трудностями, обусловленными неспособностью эффективно применять имеющиеся знания. В данной работе, ‘Vibe Reasoning: Eliciting Frontier AI Mathematical Capabilities — A Case Study on IMO 2025 Problem 6’, предложен новый подход — «Vibe Reasoning», — демонстрирующий успешное решение сложной комбинаторной задачи (IMO 2025 Problem 6) посредством минимального человеческого вмешательства и оркестровки работы нескольких моделей. Этот подход позволяет раскрыть скрытый математический потенциал больших языковых моделей, используя агентивные рабочие процессы и мета-подсказки. Каковы перспективы автоматизации и масштабирования «Vibe Reasoning» для решения широкого спектра сложных задач, требующих глубокого математического мышления?

Задача, бросающая вызов: Подступ к IMO 2025 №6

Задача 6 Международной математической олимпиады 2025 года представляет собой крайне сложную задачу на мощение, требующую принципиально нового подхода к комбинаторным рассуждениям. Суть проблемы заключается в определении возможности покрытия заданной сетки определенными типами плиток при наличии специфических ограничений на их расположение. Традиционные методы решения, основанные на переборе вариантов или использовании известных шаблонов, оказываются неэффективными из-за экспоненциального роста сложности с увеличением размера сетки. Решение требует не просто умения манипулировать комбинаторными объектами, а глубокого понимания структуры задачи и выявления скрытых закономерностей, позволяющих существенно ограничить пространство поиска и найти оптимальную стратегию мощения. Эта задача проверяет не только математическую интуицию, но и способность мыслить за пределами стандартных алгоритмов и разрабатывать инновационные подходы к решению сложных комбинаторных проблем.

Задача, представленная на Международной математической олимпиаде 2025 года, оказалась чрезвычайно сложной для решения, демонстрируя устойчивость к стандартным методам и подходам. Из шестисот участников олимпиады лишь шестерым удалось найти верное решение, что свидетельствует о нетривиальности поставленной задачи. Примечательно, что все существующие на данный момент системы искусственного интеллекта также оказались неспособны справиться с этой головоломкой, подчеркивая необходимость разработки новых алгоритмов и стратегий для решения подобных комбинаторных задач. Данный факт указывает на то, что традиционные подходы к решению задач на плитку не применимы, и требуется совершенно иное видение для успешного преодоления возникших сложностей.

Высокая размерность и обширное пространство поиска в задаче IMO 2025 №6 делают традиционные методы решения неэффективными и требуют применения искусственного интеллекта. Комбинаторная сложность задачи, превосходящая возможности ручного анализа, обуславливает необходимость в алгоритмах, способных исследовать огромное количество возможных конфигураций и выявлять закономерности, невидимые для человека. Использование AI позволяет автоматизировать процесс поиска решений, оптимизировать стратегии и исследовать пространство вариантов с беспрецедентной скоростью. Успешное применение искусственного интеллекта в решении подобных задач не только открывает новые пути для решения сложных математических проблем, но и демонстрирует потенциал AI в областях, требующих глубокого комбинаторного анализа и оптимизации, что особенно важно для развития алгоритмов машинного обучения и искусственного интеллекта.

Успешное решение задачи требует выявления ключевых структурных закономерностей в сетке. Исследования показывают, что простая переборка вариантов неэффективна из-за экспоненциального роста сложности. Вместо этого, необходимо сосредоточиться на поиске повторяющихся мотивов, симметрий и взаимосвязей между ячейками. Эффективные решения, вероятно, будут основаны на идентификации этих паттернов и использовании их для построения стратегии заполнения сетки, избегая тупиковых ситуаций. Особое внимание уделяется пониманию того, как локальные структуры влияют на глобальное решение, и как ограничить пространство поиска, опираясь на эти взаимосвязи. Игнорирование этих закономерностей приводит к быстрому увеличению вычислительной сложности и невозможности найти корректное решение в разумные сроки.

Рассуждение о “Вайбе”: Подход, ориентированный на ИИ

Метод “Vibe Reasoning” основывается на использовании больших языковых моделей (LLM) в качестве основных решающих элементов, что позволяет существенно снизить необходимость в человеческом вмешательстве и управлении процессом рассуждений. В отличие от традиционных подходов, где человек направляет AI, данный метод предполагает, что LLM самостоятельно анализирует задачу и генерирует решения, опираясь на собственные знания и возможности. Такой подход позволяет масштабировать процесс решения задач и снизить зависимость от экспертов-людей, позволяя AI самостоятельно исследовать пространство возможных решений.

В основе подхода Vibe Reasoning лежит использование “сократических мета-подсказок” (Socratic Meta-Prompts) — специальных запросов к большой языковой модели (LLM), направленных на стимулирование самостоятельного решения задачи без предоставления готовых ответов. Данные мета-подсказки формируются таким образом, чтобы задавать наводящие вопросы и направлять ход рассуждений ИИ, побуждая его к самостоятельному анализу и поиску решений. При этом, вместо прямой передачи необходимых данных или алгоритмов, система предоставляет лишь косвенные указания, имитируя процесс обучения через вопросы и ответы, что способствует более глубокому пониманию и развитию способности к самостоятельному решению проблем.

Агентное закрепление (Agentic Grounding) в рамках данной системы обеспечивает вычислительные и контекстуальные возможности посредством интеграции исполнения кода Python и файловой памяти. Исполнение Python позволяет ИИ выполнять сложные вычисления, манипулировать данными и использовать внешние библиотеки для решения задач, которые выходят за рамки возможностей только языковой модели. Файловая память, в свою очередь, предоставляет возможность сохранения и извлечения информации между сеансами, обеспечивая сохранение контекста и накопление знаний на протяжении всего процесса решения. Данная комбинация позволяет ИИ не только рассуждать, но и активно взаимодействовать с внешней средой, получая доступ к инструментам и данным, необходимым для достижения поставленной цели.

В рамках подхода Vibe Reasoning применяется оркестровка моделей, заключающаяся в стратегическом распределении задач между различными большими языковыми моделями (LLM) — GPT-5 и Gemini 3 Pro. Данная стратегия позволяет оптимизировать производительность системы за счет использования сильных сторон каждой модели для конкретных подзадач. В процессе решения задач, зафиксирован общий объем взаимодействия, составивший 2941 строку, что отражает интенсивность и сложность логических цепочек, задействованных в процессе рассуждений и вычислений.

Открытие закономерностей: Раскрытие “Остаточного блока”

Модель GPT-5 успешно выявила ‘Блок Остаточных Значений’ (Residue Block Pattern) — повторяющийся структурный мотив, характерный для оптимальных покрытий. Данный мотив представляет собой последовательность остатков при делении координат элементов покрытия на определенное число, образующих закономерности, которые регулярно повторяются в структуре оптимального решения. Идентификация этого паттерна позволила модели выявить скрытые зависимости в данных и использовать их для более эффективного построения оптимальных решений, что свидетельствует о наличии внутренней организации в задаче оптимального покрытия.

В процессе анализа оптимальных покрытий, модель GPT-5 выявила, что наличие “идеальных квадратов” — структурных элементов, представляющих собой квадраты, составленные из базовых плиток — служит важным индикатором повторяющихся блоков (Residue Block Pattern). Использование “идеальных квадратов” в качестве эвристики позволило значительно сузить область поиска, поскольку их присутствие указывает на потенциальные участки, где с большей вероятностью будет обнаружена закономерность. Данный подход предполагает, что идентификация и анализ таких структурных элементов может быть использован для более эффективного исследования и решения задачи покрытия, предоставляя ценный инструмент для последующего анализа и оптимизации.

Обнаружение повторяющегося мотива ‘Residue Block’ позволило предположить наличие более глубокой структуры в задаче оптимальной мозаики. Выявление этой структуры позволило GPT-5 перейти от неструктурированного поиска решений к целенаправленному исследованию подмножества возможных вариантов. Это значительно уменьшило пространство поиска, поскольку модель могла концентрироваться на областях, соответствующих выявленному структурному шаблону, что привело к повышению эффективности и скорости нахождения оптимальных решений. Фактически, обнаружение этой структуры позволило трансформировать задачу из вычислительно сложной в более управляемую и анализируемую.

Обнаружение повторяющихся структурных мотивов, известных как ‘Residue Block Pattern’, позволило GPT-5 существенно сократить область поиска оптимальных решений задачи покрытия. Модель, выявляя эти паттерны, не просто идентифицировала их наличие, но и использовала полученные данные для направления последующих шагов логического вывода. Это привело к уменьшению количества рассматриваемых вариантов и повышению эффективности алгоритма за счет фокусировки на наиболее перспективных областях пространства решений, что значительно ускорило процесс поиска оптимальной конфигурации.

Построение нижней границы: “Вводящее в заблуждение множество”

Модель Gemini 3 Pro построила так называемое ‘Fooling Set’ (обманчивое множество), которое является ключевым компонентом в установлении нижней границы для решения задачи. Это множество представляет собой набор частично заполненных ячеек сетки, специально сконструированных таким образом, чтобы любые попытки завершить заполнение сетки в соответствии с заданными правилами неизбежно приводили к одному из допустимых решений. Наличие такого множества гарантирует, что существует как минимум одно корректное заполнение, и, следовательно, позволяет определить нижнюю границу для минимального необходимого количества ячеек, которые должны быть заполнены. Конструкция ‘Fooling Set’ является необходимым шагом для доказательства нижней границы решения, в данном случае — 2112.

При построении “обманчивого множества” (fooling set) модель Gemini 3 Pro использовала теорему Эрдеша-Секераша для обеспечения корректности нижней границы. Данная теорема гарантирует, что в любой последовательности длины $n^2 + 1$ найдется либо возрастающая подпоследовательность длины $n+1$, либо убывающая подпоследовательность длины $n+1$. Применительно к задаче, это позволило создать множество, в котором гарантированно существуют конфигурации плиток, удовлетворяющие заданным условиям, что, в свою очередь, подтверждает существование нижней границы решения и её валидность.

Для эффективного построения “обманчивого множества” в рамках сетки был использован метод “Адаптивного Ортогонального Вентилирования”. Данная стратегия подразумевает последовательное расширение множества, при котором новые элементы добавляются таким образом, чтобы минимизировать перекрытия и обеспечить максимальное покрытие сетки. Применение ортогонального вентилирования гарантирует, что добавленные элементы не создают избыточных или конфликтующих структур, что необходимо для формирования валидного “обманчивого множества” и, как следствие, для установления точной нижней границы решения задачи. Адаптивность метода заключается в динамической корректировке стратегии расширения в зависимости от текущего состояния сетки и уже сформированного множества.

Построенная конфигурация, представляющая собой «обманчивый набор», обеспечила строгое нижнее ограничение для решения задачи. Данное ограничение продемонстрировало существование как минимум одной допустимой конфигурации мозаики, что позволило исключить все варианты, значения которых были ниже этого предела. В конечном итоге, подтверждение существования решения, ограниченного снизу, и последующий поиск оптимальной конфигурации привели к установлению решения задачи, равного 2112.

Импликации и будущие направления

Данная работа демонстрирует значительный прорыв в области автоматизированного решения сложных математических задач, успешно применив разработанный подход, названный ‘Vibe Reasoning’, к решению задачи IMO 2025 №6. Этот метод, основанный на неявном улавливании ключевых закономерностей и интуитивном построении решения, позволил системе самостоятельно прийти к верному ответу, минуя традиционные алгоритмические подходы. Успешное решение задачи, известной своей высокой сложностью и требующей глубокого понимания математических принципов, подтверждает потенциал ‘Vibe Reasoning’ как нового инструмента для автоматизации не только математических вычислений, но и решения задач, требующих творческого подхода и неявных знаний. Результаты показывают, что искусственный интеллект способен не просто выполнять запрограммированные действия, но и оперировать абстрактными понятиями и строить логические цепочки, приближаясь к человеческому мышлению.

Успешное решение сложной задачи IMO 2025, продемонстрированное системой ‘Vibe Reasoning’, представляет собой не просто единичный результат, но и чёткий алгоритмический каркас для решения других нерешенных математических проблем. Данный подход, основанный на выявлении скрытых закономерностей и интуитивных аналогиях, позволяет автоматизировать процесс поиска решений, ранее требовавший глубокого экспертного анализа. Особенностью является возможность адаптации к различным типам задач, что открывает перспективы для применения системы в других областях математики, включая теорию чисел, геометрию и алгебру. По сути, представленная методология предлагает новый способ структурирования и автоматизации процесса математического доказательства, потенциально ускоряя прогресс в решении сложных задач и открывая новые горизонты в исследовательской деятельности.

Дальнейшие исследования направлены на расширение способности искусственного интеллекта к обобщению, позволяя ему успешно применять полученные навыки к разнообразным типам задач и предметным областям. Особое внимание уделяется разработке механизмов, позволяющих системе не просто решать конкретную задачу, но и извлекать общие принципы и закономерности, применимые к более широкому кругу проблем. Это предполагает создание более гибких и адаптивных алгоритмов, способных к самостоятельному обучению и самосовершенствованию, что позволит преодолеть ограничения, связанные с узкой специализацией и жесткой привязкой к конкретным условиям. Успешная реализация данной концепции откроет новые возможности для автоматизации сложных процессов в различных областях науки и техники, включая математику, физику, информатику и другие дисциплины, где требуется нестандартное мышление и способность к решению сложных задач.

Дальнейшие исследования направлены на оптимизацию производительности и расширение возможностей системы посредством изучения альтернативных стратегий запросов и архитектур моделей. Эксперименты с различными способами формулировки задач, а также внедрение инновационных подходов к построению нейронных сетей, таких как трансформеры с разреженным вниманием или гибридные модели, комбинирующие символьные и нейронные методы, могут значительно улучшить способность искусственного интеллекта к решению сложных математических задач. Особое внимание уделяется разработке запросов, способных эффективно направлять процесс рассуждений, выявляя ключевые шаги и избегая ложных путей. Успешная реализация этих усовершенствований позволит не только повысить точность и скорость решения задач, но и расширить область применения ‘Vibe Reasoning’ на новые, ранее недоступные математические и научные дисциплины, открывая перспективы для автоматизации сложных процессов анализа и открытия знаний.

Исследование демонстрирует, что даже самые сложные математические задачи, такие как проблема IMO 2025, могут быть решены посредством минимального вмешательства человека, направляющего возможности больших языковых моделей. Подход, названный Vibe Reasoning, акцентирует внимание на извлечении скрытого потенциала ИИ, а не на его замене человеческого интеллекта. Кен Томпсон однажды заметил: «Вся сложность — это признак плохого проектирования». Это наблюдение резонирует с представленным исследованием, поскольку Vibe Reasoning стремится к элегантности и простоте решения, избегая излишней сложности в процессе взаимодействия человек-ИИ. Успех этого подхода подтверждает, что истинная мощь заключается не в объеме вычислений, а в ясности и эффективности алгоритмов.

Куда же дальше?

Представленная работа, хоть и демонстрирует успех совместного решения сложной математической задачи, лишь приоткрывает завесу над истинным потенциалом больших языковых моделей. Попытки “вызвать” математическое мышление из этих систем, словно дух из лампы, неизбежно сталкиваются с вопросом: что есть “понимание” в контексте алгоритма? Успех «Vibe Reasoning» заключается не столько в создании искусственного интеллекта, сколько в более эффективном использовании существующего, причём с минимальными усилиями со стороны человека. Это — признание слабости, а не триумф.

Дальнейшие исследования должны быть направлены не на усложнение архитектур, а на их упрощение. Поиск “обманчивых множеств” (fooling sets) — ценный, но временный шаг. Истинная цель — не создание моделей, которые можно обмануть, а моделей, которые не нуждаются в обмане. Каждый комментарий в коде — это след недоверия к самому коду. Идеальное решение — это исчезновение автора, когда система настолько прозрачна и логична, что не требует объяснений.

Необходимо признать, что «Vibe Reasoning» — это лишь один из возможных подходов. Поиск других форм взаимодействия человека и машины, возможно, основанных на интуиции или неявном знании, представляется более перспективным, чем дальнейшая оптимизация существующих методов. Сложность — это тщеславие. Ясность — милосердие. Истинный прогресс лежит в направлении простоты и элегантности.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.19287.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-23 17:08

🚀 Квантовые новости