Квантовая оптимизация: Новый алгоритм для точного моделирования молекул

Автор: Денис Аветисян

Исследователи разработали передовой квантовый алгоритм, позволяющий существенно снизить вычислительные затраты при поиске основного состояния квантовых систем.

Алгоритм MSD начинается с оптимизации временного сдвига и энергетических уровней для минимизации затрат на выборку, после чего использует взвешенную по центральной конечно-разностной схеме выборку на квантовом процессоре для оценки матричных элементов, необходимых для решения обобщенной eigenvalue-задачи в подпространстве Крылова, с опциональным применением коррекции энергетических ошибок на основе моментов Гамильтониана, полученных в ходе выборки.

Алгоритм зеркальной диагонализации подпространства (MSD) обеспечивает близкую к оптимальной стоимость выборки и превосходит традиционные методы, такие как KQD и VQE.

Несмотря на значительный прогресс в квантовых вычислениях, оценка основного состояния сложных систем остается вычислительно затратной задачей. В настоящей работе, посвященной алгоритму ‘Mirror subspace diagonalization: a quantum Krylov algorithm with near-optimal sampling cost’, предложен новый подход, позволяющий существенно снизить стоимость выборки при использовании квантовых алгоритмов Крилова. Разработанный метод, использующий конечно-разностную аппроксимацию и оптимизацию временных шагов, достигает теоретической нижней границы стоимости выборки, превосходя традиционные методы, такие как VQE и KQD. Каковы перспективы применения данного алгоритма для решения задач молекулярной электроники и других сложных квантово-химических расчетов?

Брось Вызов Симуляции: Преодолевая Экспоненциальную Сложность

Моделирование квантовых систем играет ключевую роль в прогрессе материаловедения и разработки новых лекарственных препаратов, однако эта область сталкивается с фундаментальной проблемой экспоненциального роста вычислительной сложности по мере увеличения размера рассматриваемой системы. Это означает, что для точного описания даже умеренно сложных молекул или материалов требуются вычислительные ресурсы, растущие экспоненциально с числом частиц, что быстро делает задачу неразрешимой даже на самых мощных современных компьютерах. В связи с этим, поиск эффективных методов и алгоритмов, способных обойти это ограничение, является одной из центральных задач современной квантовой науки и технологии, открывающей путь к созданию новых материалов с заданными свойствами и разработке инновационных лекарственных средств.

Традиционные методы квантового моделирования, такие как точное диагонализирование, сталкиваются с серьезными ограничениями при увеличении размеров исследуемой системы. Сложность вычислений растет экспоненциально с числом кубитов или частиц, что делает их практически неприменимыми даже для умеренно сложных случаев. Например, для моделирования всего лишь нескольких десятков кубитов требуется вычислительная мощность, недоступная даже современным суперкомпьютерам. Это связано с тем, что матрица, представляющая гамильтониан системы, становится чрезвычайно большой, и её полная диагонализация требует $O(N^3)$ операций, где $N$ — размерность матрицы. Таким образом, точное диагонализирование быстро становится непрактичным, что подталкивает исследователей к поиску альтернативных, более эффективных подходов к квантовому моделированию.

Для преодоления экспоненциальных сложностей, возникающих при моделировании квантовых систем, активно разрабатываются инновационные квантовые алгоритмы. Эти алгоритмы стремятся обойти ограничения, присущие традиционным методам, используя принципы квантовой механики, такие как суперпозиция и запутанность, для более эффективного представления и манипулирования квантовым состоянием. В частности, методы вариационного квантового собственного решателя (VQE) и квантового приближенного алгоритма собственной энергии (QAOE) демонстрируют перспективные результаты, позволяя оценивать энергию основного состояния сложных молекул и материалов на квантовых компьютерах. Дальнейшее развитие этих алгоритмов, а также создание новых подходов, способных эффективно использовать возможности квантовых вычислений, имеет решающее значение для прогресса в материаловедении, химии и фармацевтике, открывая возможности для моделирования и проектирования материалов с заданными свойствами и разработки новых лекарственных препаратов.

Широкий спектральный диапазон гамильтониана представляет собой серьезную проблему для эффективного квантового моделирования. В квантовых системах, описываемых гамильтонианом, собственные значения, определяющие энергию системы, могут значительно различаться. Это означает, что для точного представления состояния системы необходимо использовать широкий диапазон частот, что требует экспоненциально возрастающих ресурсов для квантового компьютера. Эффективное моделирование требует алгоритмов, способных избирательно работать с релевантными частотами, избегая необходимости моделировать весь спектр. Разработка таких алгоритмов, способных эффективно кодировать и манипулировать состояниями с разными энергиями, является ключевой задачей для преодоления этих ограничений и достижения масштабируемых квантовых симуляций. В частности, методы, позволяющие сосредоточиться на низкоэнергетических состояниях, представляющих наибольший интерес для многих приложений, становятся все более востребованными.

Сравнение вычислительных затрат KQD и MSD для различных молекул показывает, что KQD, особенно при использовании 1-нормальной регуляризации, значительно снижает требуемое время эволюции по сравнению с MSD, что подтверждается зависимостью от числа пространственных орбиталей и представлено в таблице 1.

Зеркальное Подпространство: Новый Взгляд на Квантовую Симуляцию

Метод диагонализации подпространства зеркал (MSD) представляет собой новый квантовый алгоритм, разработанный для повышения эффективности квантового моделирования. В основе подхода лежит фокусировка на специально сконструированном подпространстве, что позволяет значительно сократить вычислительные затраты по сравнению с традиционными методами. Вместо работы со всем гильбертовым пространством, MSD проецирует задачу на это подпространство, снижая размерность решаемой системы. Это достигается путем использования принципов симметрии и структуры решаемой задачи, что позволяет эффективно аппроксимировать эволюцию во времени и вычислять энергетические уровни системы с повышенной точностью и скоростью. Эффективность алгоритма напрямую зависит от качества выбора и конструкции этого подпространства.

Алгоритм MSD использует центральные конечные разности для аппроксимации гамильтониана $H$. Этот подход позволяет представить гамильтониан в дискретной форме, что существенно упрощает вычисление оператора временной эволюции $U(t) = exp(-iHt)$. Вместо работы со всем гильбертовым пространством, алгоритм оперирует с дискретизированным представлением гамильтониана, что снижает вычислительную сложность. Использование центральных разностей обеспечивает более высокую точность аппроксимации по сравнению с односторонними разностями, что критически важно для точного расчета энергии и временной эволюции квантовой системы. Дискретизация позволяет эффективно оценить собственные значения и собственные векторы гамильтониана, необходимые для моделирования динамики системы.

Метод диагонализации подпространства зеркал (MSD) использует гамильтонианный момент для уточнения проекции подпространства и повышения точности вычислений. Гамильтонианный момент, определяемый как $⟨H^2⟩ — ⟨H⟩^2$, служит мерой разброса энергии в системе. В MSD этот момент используется для оценки качества выбранного подпространства; более низкое значение указывает на более эффективное представление основного состояния и, следовательно, на более точную аппроксимацию. Корректировка подпространства на основе гамильтонианного момента позволяет минимизировать ошибки, возникающие при аппроксимации полного гамильтониана, и тем самым повысить точность моделирования динамики квантовых систем.

Основная цель метода зеркальной диагонализации подпространства (MSD) заключается в снижении вычислительных затрат, связанных с моделированием сложных квантовых систем. Традиционные методы, такие как точное диагонализация, требуют экспоненциального увеличения ресурсов с ростом размерности системы. MSD использует подход, основанный на построении и анализе меньшего, тщательно отобранного подпространства, что позволяет значительно уменьшить размер матриц, над которыми необходимо проводить операции. Это достигается за счет аппроксимации гамильтониана с использованием центральных конечных разностей и оптимизации проекции подпространства посредством использования момента гамильтониана, что позволяет эффективно оценивать энергию и проводить эволюцию во времени при существенно меньших вычислительных затратах, чем при использовании полных диагональных методов.

Анализ зависимости от общего числа выстрелов показывает, что возмущение матрицы и ошибка в гамильтоновом моменте для модели H2 (6-31G) остаются стабильными и ограничены теоретическим пределом, что подтверждено статистикой по 10 000 случайных испытаний.

Минимизация Нормы: Ключ к Эффективным Квантовым Вычислениям

Норма $L_1$ (1-норма) гамильтониана является ключевым фактором, определяющим вычислительную сложность и требования к ресурсам квантового моделирования. Более высокая 1-норма гамильтониана напрямую коррелирует с увеличением числа необходимых квантовых операций и, следовательно, с увеличением времени вычислений и потреблением памяти. Это связано с тем, что величина 1-нормы влияет на спектральный радиус матрицы, а значит, и на точность аппроксимации и скорость сходимости алгоритма. Таким образом, минимизация 1-нормы гамильтониана является важной задачей для повышения эффективности квантовых вычислений и снижения их стоимости.

Метод MSD использует техники сдвига с учетом блочной инвариантности (Block-Invariant Symmetry Shift, BLISS) и оптимизации орбиталей для минимизации 1-нормы гамильтониана. BLISS позволяет эффективно уменьшить величину внедиагональных элементов матрицы гамильтониана, что снижает вычислительную сложность. Оптимизация орбиталей включает в себя выбор базисного набора, минимизирующего 1-норму, что приводит к уменьшению количества необходимых квантовых операций и ускорению сходимости симуляции. Комбинация этих методов значительно повышает эффективность вычислений, особенно при моделировании молекулярных систем.

Снижение 1-нормы гамильтониана напрямую влияет на скорость сходимости и количество необходимых квантовых операций для достижения точных результатов в моделировании. Уменьшение 1-нормы позволяет сократить вычислительные затраты за счет более эффективного приближения к решению. Это достигается за счет уменьшения пространства поиска и упрощения структуры решаемой системы, что приводит к ускорению процесса вычислений и снижению требований к квантовым ресурсам. В результате, для получения результатов с заданной точностью требуется меньше квантовых вентилей и меньшее время вычислений.

Оптимизации, включающие минимизацию 1-нормы Гамильтониана и оптимизацию орбиталей, демонстрируют снижение стоимости выборки до четырех порядков величины по сравнению с традиционными квантовыми методами Крылова (KQD) при моделировании молекулы $H_2$. Данное снижение достигается за счет более эффективного использования вычислительных ресурсов и ускорения сходимости алгоритма, что позволяет получать точные результаты с существенно меньшими затратами на проведение симуляций. Эмпирические данные подтверждают, что оптимизированные методы позволяют существенно сократить время и стоимость вычислений для данной молекулярной системы.

Сравнительный анализ затрат на выборку между методами KQD и MSD для различных молекул показывает, что увеличение числа пространственных орбиталей и изменение соотношения ΔE(Ne,S)/λ влияют на эффективность KQD, при этом снижение 1-нормы позволяет оптимизировать затраты и приблизить их к значениям MSD.

Влияние и Перспективы: От Смягчения Ошибок к Будущему Квантовых Вычислений

Оба метода — метод диффузии Монте-Карло (MSD) и квантовый метод Крылова (KQD) — для оценки математического ожидания используют так называемый тест Адамара. Этот тест, являясь ключевым элементом в реализации данных алгоритмов, непосредственно влияет на стоимость выборки — то есть, на количество квантовых измерений, необходимых для достижения заданной точности. Поскольку тест Адамара требует выполнения определенных квантовых операций и последующего измерения результата, увеличение числа необходимых измерений значительно повышает вычислительные затраты и время выполнения алгоритма. Таким образом, эффективность MSD и KQD тесно связана с оптимизацией использования теста Адамара и минимизацией требуемого числа выборок, что является важной задачей при разработке и применении этих методов в квантовых вычислениях. Повышение эффективности теста Адамара может значительно снизить общую стоимость вычислений и открыть возможности для решения более сложных задач.

Эффективность квантовых алгоритмов, предназначенных для вычисления свойств сложных систем, напрямую зависит от количества необходимых измерений для достижения заданной точности. Каждое измерение в квантовой системе сопряжено с определенными затратами, как временными, так и ресурсными. Таким образом, уменьшение числа измерений, необходимых для получения надежного результата, является ключевой задачей при разработке и оптимизации подобных алгоритмов. Алгоритмы, требующие меньшего числа измерений, становятся более практическими для реализации на существующих и будущих квантовых компьютерах, поскольку снижают общую вычислительную сложность и позволяют исследовать более крупные и сложные системы. Точность оценки, получаемая при заданном числе измерений, определяет надежность полученных результатов и влияет на возможность использования алгоритма для решения конкретных научных задач, например, в области материаловедения или квантовой химии. В связи с этим, разработка методов, позволяющих повысить эффективность измерений и снизить их количество без потери точности, является важным направлением исследований в области квантовых вычислений.

Метод Ланцоса эффективно применяется в сочетании с методом спектральных моментов (MSD) для снижения влияния ошибок и повышения точности оценки энергий. Данный итеративный подход позволяет выделить наиболее значимые собственные векторы и соответствующие им собственные значения, что существенно улучшает сходимость и стабильность расчетов. В процессе применения метода Ланцоса, начальное приближение к энергетическому спектру уточняется путем последовательного построения ортогональной базы векторов, что позволяет более эффективно определять энергетические уровни системы и минимизировать погрешности, возникающие при прямых измерениях. Такое комбинированное использование метода Ланцоса и MSD позволяет получать более надежные и точные результаты при моделировании квантовых систем, особенно в случаях, когда прямые вычисления затруднены из-за сложности задачи или ограниченности вычислительных ресурсов.

Исследования показали, что метод динамической спектральной деформации (MSD) демонстрирует более эффективное масштабирование стоимости выборки по сравнению с методом квантового Крылова (KQD), приближаясь к теоретическому пределу производительности. Этот эффект достигается за счет нескольких факторов, включая снижение спектральной нормы посредством смещения энергетических уровней. Смещение уровней позволяет уменьшить вклад высокоэнергетических состояний в результат, тем самым улучшая точность оценки энергии при меньшем количестве измерений. В результате, MSD требует меньше вычислительных ресурсов для достижения необходимой степени точности, что делает его более перспективным для решения сложных квантово-химических задач, особенно при работе с системами большого размера, где стоимость выборки становится критическим фактором.

Численное моделирование молекулы H2 (6-31G) демонстрирует, что применение метода смягчения ошибок на основе моментов Ланцоса к методу Монте-Карло значительно повышает точность оценки энергии основного состояния, приближаясь к химической точности (ошибка менее 1.6×10−3 Ha) даже при ограниченном количестве измерений.

Взгляд в Будущее: Преодолевая Ограничения и Расширяя Горизонты

Минимизация ошибки, возникающей при использовании метода конечных разностей, остается ключевой задачей для повышения точности симуляций методом многомерных возмущений (MSD). Данная ошибка, обусловленная дискретизацией производных в уравнении Шредингера, может существенно искажать результаты, особенно при моделировании систем с высокой степенью детализации или быстрым изменением волновой функции. Исследователи продолжают разрабатывать и совершенствовать численные схемы, стремясь к более точной аппроксимации дифференциальных операторов и уменьшению влияния дискретизации на энергию и другие наблюдаемые величины. Повышение порядка аппроксимации, использование более плотных сеток и применение специальных фильтров — лишь некоторые из подходов, направленных на снижение ошибки конечных разностей и достижение высокой достоверности результатов симуляций, что особенно важно для предсказания свойств материалов и проведения квантово-химических расчетов.

В настоящее время ведутся исследования, направленные на разработку инновационных подходов к сокращению спектрального диапазона гамильтониана. Существенное уменьшение этого диапазона позволяет значительно повысить эффективность процедур диагонализации в подпространстве, что является ключевым фактором при моделировании сложных квантовых систем. Новые методы, основанные на адаптивных координатных преобразованиях и усовершенствованных алгоритмах фильтрации, позволяют более эффективно выделять наиболее важные энергетические уровни, снижая вычислительные затраты и повышая точность моделирования. Ожидается, что эти разработки существенно расширят возможности применения методов многочастичных возмущений для изучения материалов с сильными корреляциями и проведения высокоточных расчетов в квантовой химии, открывая перспективы для создания новых материалов с заданными свойствами и разработки эффективных катализаторов.

Дальнейшее развитие предложенных методик направлено на решение задач, связанных с моделированием более сложных квантовых систем, в частности, систем с сильными корреляциями между электронами. Такие системы, характеризующиеся значительным влиянием взаимодействия между частицами, представляют особый интерес для материаловедения и квантовой химии, однако их точное описание требует существенно больших вычислительных ресурсов. Исследователи стремятся адаптировать и оптимизировать существующие подходы для эффективного анализа этих сложных взаимодействий, что позволит предсказывать свойства новых материалов и проводить высокоточные расчеты молекулярных структур. Успешная реализация этих задач откроет путь к пониманию и проектированию материалов с заданными свойствами, а также к разработке новых катализаторов и лекарственных препаратов.

Интеграция усовершенствованных методов моделирования, направленных на повышение точности и эффективности расчетов, открывает захватывающие перспективы в области материаловедения и квантовой химии. Возможность точного предсказания свойств новых материалов, от сверхпроводников до высокоэффективных катализаторов, станет реальностью благодаря более глубокому пониманию квантово-механических взаимодействий. В квантовой химии, эти методы позволят исследовать сложные химические реакции и молекулярные структуры с беспрецедентной детализацией, способствуя разработке новых лекарств и материалов с заданными свойствами. Усовершенствованные алгоритмы и вычислительные подходы, основанные на передовых техниках, позволят решать задачи, которые ранее были недоступны из-за ограничений вычислительных ресурсов и точности, что приведет к прорывам в обеих научных дисциплинах и создаст основу для инноваций в различных областях науки и техники.

Смещение энергетических уровней в секторе симметрии 𝑸 позволяет минимизировать спектральную норму оператора 𝐻^𝑸 до величины Δ𝐸𝑸/2.

Исследование, представленное в данной работе, демонстрирует стремление к оптимизации и прозрачности в квантовых вычислениях. Алгоритм Mirror Subspace Diagonalization (MSD), снижая стоимость выборки при оценке энергии основного состояния, подчеркивает важность эффективного использования ресурсов. Этот подход перекликается с мыслями Эрвина Шрёдингера: «Невозможно предсказать, что произойдет, но можно предсказать, что если предсказание неверно, мы узнаем об этом.» Подобно тому, как MSD стремится к точности через оптимизацию, Шрёдингер подчеркивает необходимость проверки предсказаний. Алгоритм MSD, нацеленный на снижение вычислительных издержек, представляет собой попытку взломать систему ограничений, связанных с высокой стоимостью квантовых вычислений, подобно тому, как понимание системы позволяет найти способы ее обхода.

Куда же дальше?

Представленный алгоритм, Mirror Subspace Diagonalization, безусловно, открывает новые пути в симуляции квантовых систем. Однако, как и в любом взломе сложной системы, кажущееся упрощение лишь обнажает новые уровни сложности. Оптимизация стоимости выборки — это лишь одна сторона медали. Настоящая проверка ждёт в реализации: насколько хорошо этот метод масштабируется с увеличением размерности решаемой задачи? Какие скрытые накладные расходы проявятся на реальном квантовом оборудовании, где шум и ошибки — не просто раздражающие факторы, а фундаментальные ограничения?

Очевидно, что необходимо углубиться в анализ влияния различных стратегий смягчения ошибок на эффективность MSD. Ирония в том, что попытки «исправить» квантовую систему могут привести к ещё более сложным артефактам, требующим новых методов диагностики. Перспективным направлением представляется разработка адаптивных алгоритмов, способных динамически перестраивать подпространство, в котором ведётся поиск основного состояния, в зависимости от характеристик шума.

В конечном счете, задача симуляции квантовых систем — это не столько поиск «точного» решения, сколько построение адекватной модели реальности. MSD — это инструмент, позволяющий заглянуть глубже в этот сложный мир, но лишь время покажет, насколько достоверной окажется эта картина. Возможно, настоящая революция произойдет не в совершенствовании алгоритмов, а в переосмыслении самой концепции «решения» в квантовой механике.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2511.20998.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-11-27 18:48

🚀 Квантовые новости