Символическое распространение Паули: новый путь к обучению квантовых схем

Автор: Денис Аветисян

В статье представлена методика символического вычисления квантовых наблюдаемых, позволяющая проводить классическое предварительное обучение квантовых схем и масштабировать процесс оптимизации.

Разработан метод символического распространения операторов Паули для аналитического представления квантовых наблюдаемых в зависимости от параметров схемы.

Обучение квантовых машин и эффективная оценка градиентов остаются сложной задачей из-за вычислительных ограничений. В данной работе, ‘Symbolic Pauli Propagation for Gradient-Enabled Pre-Training of Quantum Circuits’, предложен метод символического распространения операторов Паули, позволяющий представить наблюдаемые величины как аналитические функции параметров квантовой схемы. Такой подход обеспечивает возможность классического предварительного обучения и масштабируемую оптимизацию квантовых систем за счет контролируемого усечения весов и частотных компонентов Паули. Может ли данная методика стать основой для создания более эффективных и масштабируемых алгоритмов квантового машинного обучения?

Квантовый тупик: экспоненциальный барьер вычислений

Моделирование квантовых систем играет ключевую роль в развитии материаловедения и создании новых лекарственных препаратов, однако сталкивается с фундаментальной проблемой экспоненциального роста вычислительной сложности с увеличением размера системы. Это означает, что для точного описания даже небольшого числа взаимодействующих частиц требуется объем памяти и вычислительных ресурсов, растущий экспоненциально — то есть, в геометрической прогрессии. Например, для описания всего лишь 300 кубитов требуется $2^{300}$ битов информации — число, превышающее количество атомов во Вселенной. Данное ограничение серьезно препятствует применению традиционных вычислительных методов для решения практически значимых задач, стимулируя поиск инновационных алгоритмов и подходов, способных обойти это «экспоненциальное препятствие» и открыть новые горизонты в моделировании сложных квантовых явлений.

Традиционные вычислительные методы сталкиваются с фундаментальным ограничением при моделировании квантовых систем, обусловленным экспоненциальным ростом размерности гильбертова пространства. Для системы из $n$ кубитов, число возможных состояний, а значит, и размер гильбертова пространства, равно $2^n$. Это означает, что даже для относительно небольших систем, требуемое для точного описания количество переменных становится астрономическим, делая прямые вычисления практически невозможными. Например, моделирование всего лишь 50 кубитов потребовало бы хранения и обработки $2^{50}$ комплексных чисел, что превышает возможности современных компьютеров. Данное ограничение существенно препятствует применению квантовой химии и материаловедения для решения сложных задач, таких как разработка новых лекарств или материалов с заданными свойствами, поскольку точность моделирования напрямую зависит от способности адекватно представлять все возможные квантовые состояния.

Сложность моделирования квантовых систем стимулирует активный поиск инновационных алгоритмов, направленных на снижение вычислительной нагрузки без потери точности. Традиционные методы сталкиваются с экспоненциальным ростом требований к ресурсам по мере увеличения размера моделируемой системы, что делает решение задач даже умеренной сложности практически невозможным. Разрабатываемые подходы включают в себя методы вариационного квантового моделирования, тензорные сети и квантовые алгоритмы приближения, призванные эффективно представить и манипулировать огромным гильбертовым пространством, необходимым для адекватного описания квантовых явлений. Эти исследования не только расширяют границы вычислительных возможностей, но и открывают новые перспективы в материаловедении, разработке лекарств и других областях, требующих точного моделирования квантовых систем.

Вариационный квантовый решатель: прагматичный подход к гармонии

Вариационный квантовый решатель уравнений ($VQE$) представляет собой гибридный квантово-классический алгоритм, предназначенный для нахождения основного состояния энергии гамильтониана. В отличие от полностью квантовых алгоритмов, $VQE$ делегирует вычислительно сложные задачи классическому компьютеру, используя квантовый процессор для подготовки пробных волновых функций. Этот подход позволяет использовать преимущества квантовых вычислений для решения задач, которые недоступны классическим компьютерам, одновременно смягчая требования к квантовому оборудованию за счет переноса части вычислений на классическую платформу. Алгоритм итеративно оптимизирует параметры квантовой схемы, минимизируя ожидаемое значение гамильтониана, что приводит к приближению основного состояния системы.

В алгоритме Variational Quantum Eigensolver (VQE) для получения приближенного решения основного состояния гамильтониана используется параметризованная квантовая схема, называемая анзацем. Анзац генерирует пробные волновые функции, параметры которых оптимизируются классическим компьютером. Процесс оптимизации заключается в минимизации математического ожидания гамильтониана, которое выступает в качестве функции потерь (Loss Function). Математическое ожидание вычисляется на квантовом компьютере для каждого набора параметров, и классический оптимизатор итеративно изменяет параметры анзаца до достижения минимума функции потерь, тем самым приближаясь к энергии основного состояния системы, описываемой гамильтонианом $H$.

Локальный анзац «Entangler» является распространенным выбором для построения параметрических квантовых схем в алгоритме VQE, однако его эффективность напрямую зависит от скорости и точности вычисления математического ожидания гамильтониана $H$ для предложенного пробного волнового функционала. Вычисление этого ожидания требует оценки средних значений оператора $H$ по всем возможным состояниям, что может быть вычислительно дорогостоящей задачей, особенно для больших систем. Эффективные методы вычисления, такие как методы Монте-Карло или аппроксимации, критически важны для практической реализации VQE с использованием локального анзаца «Entangler» и для получения достоверных результатов в разумные сроки.

Символическое распространение Паули: рационализация вычисления ожидаемых величин

Символическая проработка операторов Паули (SPP) представляет собой метод аналитического отслеживания эволюции операторов Паули в процессе выполнения квантовой схемы. В отличие от численного моделирования, требующего вычисления векторов состояний, SPP позволяет непосредственно выражать наблюдаемые величины как функции параметров схемы. Этот подход заключается в представлении каждого оператора Паули в виде линейной комбинации операторов, применяемых к исходному состоянию, и отслеживании их преобразований при последовательном применении квантовых гейтов. Таким образом, SPP позволяет аналитически вычислять значения ожидаемых величин, избегая экспоненциального роста вычислительных затрат, связанного с манипуляциями с векторами состояний.

Метод символической продолжения операторов Паули (SPP) позволяет эффективно вычислять значения ожидаемых величин, представляя наблюдаемые в виде функций параметров квантовой схемы. В отличие от традиционных подходов, требующих явного манипулирования векторами состояний, SPP отслеживает эволюцию операторов Паули на протяжении всей схемы. Это позволяет аналитически выразить значение ожидаемой величины $⟨O⟩$ как функцию параметров схемы $θ$, то есть $⟨O⟩(θ)$, избегая вычислительно затратных операций над векторами состояний, размерность которых экспоненциально растет с числом кубитов. Такой подход значительно снижает вычислительную сложность и позволяет эффективно оценивать значения наблюдаемых для систем с большим числом кубитов.

Для снижения вычислительной сложности при использовании Symbolic Pauli Propagation (SPP) применяются методы отсечения по весу Паули и частоте. Отсечение по весу Паули ограничивает разложение операторов Паули, исключая члены с малым весом, а отсечение по частоте ограничивает максимальную степень, до которой отслеживаются произведения операторов Паули. Ошибка, вносимая этими отсечениями, ограничена геометрической прогрессией $ \epsilon = \sum_{i=n}^{\infty} w_i $, где $w_i$ — веса отсеченных членов, а $n$ — значение отсечения. Увеличение значений отсечения приводит к экспоненциальному уменьшению ошибки, что обеспечивает быструю сходимость и позволяет достигать высокой точности с минимальными вычислительными затратами.

Продемонстрированный метод символической прослеживаемости операторов Паули (SPP) позволил получить результаты, близкие к точным, при моделировании 18-кубитной модели ANNNI (Axial Next-Nearest Neighbor Ising). Точность вычислений была подтверждена сравнением с численными методами, показавшими пренебрежимо малую погрешность. Это свидетельствует о масштабируемости и эффективности SPP для анализа сложных квантовых систем, где прямые вычисления вектора состояния становятся вычислительно невозможными. Полученные результаты демонстрируют возможность точного вычисления ожидаемых значений для систем, содержащих до 18 кубитов, используя аналитическое представление эволюции операторов Паули.

Навигация по ландшафту: оценка градиента и за его пределами

Эффективная оценка градиента имеет первостепенное значение для оптимизации параметров вариационной схемы. В процессе обучения, алгоритм стремится найти набор параметров, минимизирующих функцию потерь, и градиент этой функции указывает направление наиболее быстрого спуска. Без точной и эффективной оценки градиента, процесс оптимизации становится крайне медленным или вовсе останавливается, особенно при работе со сложными схемами, где количество параметров может быть значительным. Погрешности в оценке градиента приводят к неточным обновлениям параметров, затрудняя сходимость алгоритма к оптимальному решению. Таким образом, разработка и применение методов, позволяющих быстро и точно вычислять градиент, является ключевым фактором, определяющим эффективность и масштабируемость вариационных квантовых алгоритмов, таких как $VQE$ (Variational Quantum Eigensolver).

Правило смещения параметров представляет собой элегантный и эффективный метод вычисления градиентов в квантовых вычислениях, позволяющий обходить необходимость в прямом дифференцировании квантовых схем. Вместо этого, градиент функции потерь оценивается путем выполнения квантовой схемы дважды — один раз со смещением параметров в положительную сторону, и второй раз — в отрицательную. Разница между результатами этих двух измерений, нормированная на величину смещения, дает приближение градиента. Этот подход особенно ценен, поскольку позволяет использовать квантовые компьютеры для оценки градиентов без необходимости в аналитических вычислениях производных, что делает его ключевым инструментом в алгоритмах вариационного квантового эвристического решения ($VQE$) и других методах оптимизации квантовых схем. Благодаря своей практичности и эффективности, правило смещения параметров стало стандартом в области квантового машинного обучения.

В процессе оптимизации вариационных квантовых схем (VQE) часто возникает проблема «пустынных плато» (Barren Plateaus) — области в пространстве параметров, где градиенты экспоненциально стремятся к нулю. Это явление существенно затрудняет обучение модели, поскольку алгоритмы оптимизации не могут эффективно определять направление изменения параметров для минимизации функции потерь. Суть проблемы заключается в том, что при увеличении количества кубитов и сложности схемы, вероятность попадания в такие области возрастает, что ограничивает масштабируемость VQE для решения более сложных задач. Исследования показывают, что $|\nabla f(\theta)|$ может стремиться к нулю из-за интерференции в квантовой схеме, что делает поиск оптимальных параметров крайне затруднительным и требует разработки специальных стратегий для обхода или смягчения этого эффекта.

Для преодоления сложностей, связанных с проблемой исчезающих градиентов и «барен-плато» в вариационном квантовом эвристическом алгоритме (VQE), применяются методы упрощения наблюдаемых, известные как «trimming». Данный подход заключается в последовательном удалении термов из наблюдаемой, которые вносят минимальный вклад в ее ожидаемое значение. Цель состоит в том, чтобы уменьшить сложность наблюдаемой, что, в свою очередь, улучшает поток градиентов и облегчает процесс оптимизации параметров квантовой схемы. Упрощение наблюдаемой позволяет избежать регионов с практически нулевыми градиентами, где оптимизация становится неэффективной, и способствует более быстрой и надежной сходимости алгоритма к оптимальному решению. В результате, trimming позволяет расширить масштабируемость VQE и эффективно решать более сложные задачи.

К масштабируемому квантовому моделированию: взгляд в будущее

Комбинирование символической прогонки Паули с эффективными методами оценки градиента, такими как правило сдвига параметров, открывает новые возможности для моделирования более крупных и сложных квантовых систем. Вместо непосредственного численного вычисления градиентов, что требует экспоненциального увеличения ресурсов, символическая прогонка Паули позволяет аналитически отслеживать эволюцию операторов Паули, значительно снижая вычислительную сложность. Применение правила сдвига параметров, в свою очередь, предоставляет эффективный способ оценки градиентов функций стоимости, необходимых для оптимизации параметров квантовых схем. Такой симбиоз позволяет существенно расширить масштабируемость квантового моделирования, делая возможным изучение систем, которые ранее были недоступны для численного анализа, и приближая реальное применение квантовых вычислений в материаловедении, разработке лекарств и других областях.

Точное вычисление наблюдаемых величин и оптимизация параметров квантовых схем имеют решающее значение для широкого спектра применений, простирающихся от открытия новых материалов до разработки лекарственных препаратов. В материаловедении, возможность моделирования электронных структур сложных соединений с высокой точностью позволяет предсказывать их свойства, такие как сверхпроводимость или магнитные характеристики, значительно ускоряя процесс открытия новых материалов с заданными свойствами. В фармацевтике, квантовые вычисления позволяют моделировать молекулярные взаимодействия лекарств с биологическими мишенями, что приводит к более эффективному дизайну лекарств и сокращает время, необходимое для вывода новых препаратов на рынок. Успешная оптимизация параметров квантовых схем, обеспечивающая получение достоверных результатов, является ключевым фактором для реализации потенциала квантовых вычислений в этих и других областях, открывая новые возможности для научных исследований и технологических инноваций.

Перспективные исследования в области масштабируемого квантового моделирования направлены на существенное снижение вычислительной сложности используемых алгоритмов. Ученые активно работают над совершенствованием методов оптимизации, стремясь повысить их эффективность и скорость сходимости при решении сложных задач. Особое внимание уделяется разработке новых $ansätze$ — способов представления квантовых состояний, которые позволят преодолеть ограничения, присущие существующим подходам. В частности, исследуются альтернативные структуры квантовых схем и методы их параметризации, что потенциально может значительно расширить возможности моделирования и приблизиться к решению практически значимых задач в материаловедении, химии и фармацевтике.

В конечном итоге, прогресс в области масштабируемого квантового моделирования открывает перспективы для решения практических задач, которые ранее были недоступны классическим вычислениям. Улучшенные алгоритмы и методы, позволяющие эффективно моделировать сложные квантовые системы, не просто расширяют теоретические границы, но и стимулируют инновации в различных областях науки и техники. От разработки новых материалов с заданными свойствами и создания более эффективных лекарственных препаратов, до оптимизации финансовых моделей и решения сложных логистических задач — потенциал квантовых вычислений огромен. Реализация этих возможностей требует дальнейшего развития аппаратного обеспечения и алгоритмических подходов, однако, текущие достижения демонстрируют, что переход от теоретических концепций к практическому применению квантовых технологий становится все более реальным и близким.

Исследование, представленное в данной работе, демонстрирует стремление к оптимизации квантовых схем посредством символического распространения операторов Паули. Этот подход, направленный на эффективную предобучение и масштабируемую оптимизацию, неразрывно связан с концепцией технического долга — упрощение, необходимое для достижения текущих результатов, неизбежно влечет за собой определенные издержки в будущем. Как отмечал Ричард Фейнман: «Если вы не можете объяснить что-то простыми словами, значит, вы сами этого не понимаете». Подобно этому, стремление к упрощению квантовых вычислений требует глубокого понимания компромиссов и последствий каждого сделанного шага. Символическое распространение, хотя и сложный метод, предлагает элегантный способ управления сложностью и обеспечения более эффективного использования квантовых ресурсов.

Куда Ведет Этот Путь?

Представленная работа, подобно любой попытке зафиксировать мгновение на оси времени, демонстрирует не столько завершение пути, сколько обозначение новой точки отсчета. Символическое распространение Паули, хотя и открывает перспективы для классического пред-обучения квантовых схем, не отменяет фундаментальной сложности оптимизации в высокоразмерном пространстве параметров. Логирование состояния системы, пусть и точное, не предотвращает её неизбежного старения. Очевидным направлением дальнейших исследований представляется разработка более устойчивых схем усечения, способных эффективно справляться с экспоненциальным ростом размерности пространства состояний, не жертвуя при этом точностью вычислений.

Вариационный решатель собственных значений, как и любой инструмент, требует калибровки. Предложенный подход, хотя и позволяет предварительно настроить параметры схемы, не гарантирует достижения глобального оптимума. Вопрос о том, насколько эффективно можно использовать классические алгоритмы для подготовки квантовых состояний, остается открытым. Необходимо учитывать, что сама попытка «заморозить» состояние системы, зафиксировать её параметры, неизбежно вносит искажения.

В конечном итоге, предложенная методика — это лишь один из возможных способов продлить «жизнь» квантовой системы, сделать её старение более достойным. Вопрос не в том, чтобы остановить время, а в том, чтобы использовать его ресурсы максимально эффективно. Следующим шагом представляется исследование возможности комбинирования символического распространения Паули с другими методами оптимизации, а также адаптация предложенного подхода к более сложным квантовым алгоритмам.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.16674.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-19 14:13

🚀 Квантовые новости